[论文解读] Schensted-type correspondences and plactic monoids for types $B_{n}$ and $D_{n}$

Cédric Lecouvey|ArXiv.org|Nov 28, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文利用Kashiwara的晶体基理论，为类型$B_n$和$D_n$建立了Schensted型对应关系，并定义了对应的plactic幺半群。文章引入了正交表和旋表示表的插入算法，推导出幺半群$\mathrm{Pl}(B_n)$和$\mathrm{Pl}(D_n)$的定义关系，并基于Sheats的算法构建了类型$B$的Jeu de Taquin，证明了在幺半群中两个词等价当且仅当它们位于晶体图的同一连通分支中。

ABSTRACT

We use Kashiwara's theory of crystal bases to study plactic monoids for $U_{q}(so_{2n+1})$ and $U_{q}(so_{2n})$. Simultaneously we describe a Schensted type correspondence in the crystal graphs of tensor powers of vector and spin representations and we derive a Jeu de Taquin for type $B$ from the Sheats sliding algorithm.

研究动机与目标

• 将Schensted对应关系和plactic幺半群构造从类型$A_n$推广到类型$B_n$和$D_n$，利用晶体基理论。
• 通过字母表$\mathcal{B}_n^*$和$\mathcal{D}_n^*$上词的等价关系，定义并刻画plactic幺半群$\mathrm{Pl}(B_n)$和$\mathrm{Pl}(D_n)$。
• 开发正交表和旋表示表的插入算法，使其在向量表示和旋表示的张量幂的晶体图中产生Schensted型对应关系。
• 通过推广Sheats的类型$C$滑动算法，将Jeu de Taquin推广至类型$B$，并扩展框架以包含旋表示。

提出的方法

• 利用Kashiwara的晶体基理论，分析$U_q(so_{2n+1})$和$U_q(so_{2n})$的fundamental表示张量幂的晶体图。
• 引入旋列以建模旋表示$V(\Lambda_n^B)$、$V(\Lambda_n^D)$和$V(\Lambda_{n-1}^D)$，并定义扩展字母表$\mathfrak{B}_n = \mathcal{B}_n \cup SP_n$和$\mathfrak{D}_n = \mathcal{D}_n \cup SP_n$。
• 基于扩展晶体图$\mathfrak{G}_n^B$和$\mathfrak{G}_n^D$中同构连通分支的一致性，定义词上的等价关系$\overset{B}{\sim}$和$\overset{D}{\sim}$，并证明$\mathrm{Pl}(B_n) = \mathcal{B}_n^* / \overset{B}{\sim}$和$\mathrm{Pl}(D_n) = \mathcal{D}_n^* / \overset{D}{\sim}$是幺半群。
• 基于Kashiwara-Nakashima框架，为正交表（类型$B$和$D$的杨表类比）构造列插入算法。
• 定义振荡表（标准表的类比）以实现Schensted对应中的$Q$-符号，其形状在每一步变化一个方格。
• 通过为$\mathfrak{B}_n^*$和$\mathfrak{D}_n^*$中的词定义广义表$\mathfrak{P}(w)$和$\mathfrak{Q}(w)$，将插入与等价关系框架扩展至旋表示，证明$w_1 \sim w_2$当且仅当在幺半群中有$w_1 \equiv w_2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用晶体基理论和插入算法将Schensted对应关系推广至类型$B_n$和$D_n$？
• RQ2 plactic幺半群$\mathrm{Pl}(B_n)$和$\mathrm{Pl}(D_n)$的定义关系是什么？它们与晶体图中词的等价性有何关联？
• RQ3 能否基于Sheats的类型$C$滑动算法构建类型$B$的Jeu de Taquin？它与插入过程有何关系？
• RQ4 旋表示如何影响晶体图的结构以及plactic幺半群中的等价关系？
• RQ5 在类型$B$和$D$的扩展Schensted对应中，$P$-符号与$Q$-符号之间有何关系？

主要发现

• plactic幺半群$\mathrm{Pl}(B_n)$同构于$\mathcal{B}_n^* / \overset{B}{\sim}$，其中$w_1 \overset{B}{\sim} w_2$当且仅当$w_1$与$w_2$位于晶体图$\mathfrak{G}_n^B$的同一同构连通分支中，$\mathrm{Pl}(D_n)$同理。
• 正交表的插入算法在$G_n^B$和$G_n^D$中产生Schensted型对应，将每个词$w$映射为一对$(\mathfrak{P}(w), \mathfrak{Q}(w))$，其中$\mathfrak{P}(w)$为广义正交表，$\mathfrak{Q}(w)$为振荡表。
• 对于$\mathfrak{B}_n^*$或$\mathfrak{D}_n^*$中的任意词$w$，广义表$\mathfrak{P}(w)$由插入过程唯一确定，且$w \sim w'$当且仅当$\mathfrak{Q}(w) = \mathfrak{Q}(w')$，即它们位于同一连通分支。
• 扩展幺半群$\mathfrak{Pl}(B_n)$和$\mathfrak{Pl}(D_n)$定义为$\mathfrak{B}_n^* / \overset{B}{\sim}$和$\mathfrak{D}_n^* / \overset{D}{\sim}$，且等价关系$w_1 \sim w_2$成立当且仅当在幺半群中有$w_1 \equiv w_2$。
• 基于Sheats的类型$C$算法，构建了类型$B$的Jeu de Taquin，其保持了插入过程的结构和$Q$-符号的对应关系。
• 对于$\mathfrak{G}_n$的最高权顶点$w_1$和$w_2$，有$w_1 \sim w_2$当且仅当$w_1 \equiv w_2$，且$\mathfrak{P}(w)$是唯一的广义正交表，使得$\mathrm{w}(\mathfrak{P}(w)) \sim w$。