[论文解读] Schlomilch and Bell Series for Bessel's Functions, with Probabilistic Applications

E. Ostrovsky, L. Sirota|ArXiv.org|Apr 1, 2008

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 11被引用 22

一句话总结

本文引入了修正贝塞尔函数的Schlömilch和Bell级数，建立了其渐近与非渐近性质，并将其与独立随机变量和的矩不等式联系起来。推导了Rosenthal型矩不等式中的精确常数，改进了渐近界，并提供了计算的数值算法，应用于巴拿赫空间和希尔伯特空间中的泊松分布与对称分布随机变量。

ABSTRACT

We have introduced and investigated so-called Shlomilchs and Bells series for modified Bessel's functions, namely, their asymptotic and non-asymptotic properties, connection with Stirling's and Bell's numbers etc. We have obtained exact constants in the moment inequalities for sums of centered independent random variables, improved their asymptotical properties, found lower and upper bounds, calculated a more exact approximation, elaborated the numerical algorithm for their calculation, studied the class of smoothing, etc.

研究动机与目标

• 开发并分析修正贝塞尔函数的Schlömilch和Bell级数，特别是其渐近与非渐近行为。
• 为独立、中心化的随机变量和的矩不等式建立精确常数，改进现有渐近界。
• 通过与第二类斯特林数、贝尔数和泊松分布的联系，实现精确的矩估计。
• 提供计算这些常数的数值算法，并在此背景下研究光滑函数类。
• 将结果推广至希尔伯特空间取值的随机变量，推导对称随机向量和的p-范数的精确界。

提出的方法

• 定义Schlömilch函数 $ F_3(p;\theta,\beta) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |k|^p \theta^k I_k(\beta) $ 和 $ G_3(p;\theta,\beta) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} k^p \theta^k I_k(\beta) $，其中 $ I_k(\beta) $ 为第一类修正贝塞尔函数。
• 建立概率解释：$ \mathbb{E}|\tau|^p = e^{-(\lambda+\mu)} F_3(p; \sqrt{\lambda/\mu}, 2\sqrt{\lambda\mu}) $，其中 $ \tau = \xi - \eta $，$ \xi, \eta \sim \text{Poisson}(\lambda, \mu) $。
• 引入广义贝尔函数 $ B_4(p;a,\lambda,\gamma) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{|n-a|^p \lambda^n}{e^\lambda \Gamma(n+\gamma+1)} $，其中 $ B_3, B_2, B_1 $ 为其特例。
• 使用鞍点法与生成函数技术，推导当 $ p \to \infty $ 时 $ F_3, G_3, B_1(p) $ 和 $ D_1(p) $ 的渐近展开。
• 通过恒等式如 $ \mathbb{E}\xi^{(r)} = \lambda^r $ 和 $ x^n = \sum_r s(n,r) x_{(r)} $，将矩与第二类斯特林数联系起来。
• 将这些展开应用于推导希尔伯特空间中 $ \mathbb{E}\left|\sum \eta(i)\right|^p $ 的精确界，使用 $ Z(p) = S(p) $，其中 $ S(p) $ 为Rosenthal型不等式中的精确常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 修正贝塞尔函数的Schlömilch和Bell级数的渐近与非渐近性质是什么？
• RQ2 这些级数如何用于推导独立、中心化随机变量和的矩不等式中的精确常数？
• RQ3 这些级数与斯特林数、贝尔数及泊松分布之间有何联系？
• RQ4 所推导的界如何改进现有Rosenthal型不等式中的渐近估计？
• RQ5 对称、希尔伯特空间取值随机变量和的p-范数的精确常数是什么？它们与贝塞尔函数有何关系？

主要发现

• 独立、中心化随机变量和的Rosenthal矩不等式中的精确常数为 $ G(p) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^p}{e \cdot n!} $，其满足 $ \exp(X(p)) \cdot (1 + C_{20} \log p / p) \leq G(p) \leq \exp(X(p)) \cdot (1 + C_{19} \log p / p) $，其中 $ X(p) = \frac{p}{e} \log \left( \frac{p}{e} \right) $。
• 当 $ p \to \infty $ 时，$ G(p) \sim \frac{p}{e \log p} \left[ 1 + \frac{\log \log p}{\log p} + \frac{1 + \log t}{\log p} + \frac{\log^2 \log p}{\log^2 p} + o\left( \frac{\log \log p}{\log^2 p} \right) \right] $，其中 $ t $ 为与方差相关的参数。
• 对称、希尔伯特空间取值随机变量和的p-范数的精确常数 $ Z(p) = S(p) $ 满足 $ \sup_{p \geq 4} Z(p)/g(p) = C_9 \approx 1.53572 $，且 $ \sup_{p \geq 15} Z(p)/h(p) = C_{11} \approx 1.03734 $。
• 当 $ t \in (0, 1/2] $ 时，量 $ R(p,t) = \mathbb{E}|\nu_1 - \nu_2|^p $，其中 $ \nu_1, \nu_2 \sim \text{Poisson}(t) $，满足 $ R(p,t) = 2e^{-2t} \sum_{n=1}^{\infty} n^p I_n(2t) = e^{-2t} F_2(p; 2) $，且 $ \lim_{p \to \infty} R(p,t)/g(p) = 1 $。
• 函数 $ Q^{p}(p,A,D) \cdot (D^2/A)^{1/(p-2)} = \mathbb{E}|\nu_1 - \nu_2|^p = e^{-2t} F_2(p;2) $，其中 $ t = 0.5(A/D^p)^{1/(p-2)} $，且 $ R(p,t) $ 的渐近行为为 $ \left[ t M(p/t) \right]^{1 - tM(p/t)/p} \left(1 + o(\log p / p) \right) $。
• 数值表格显示，$ u(t) = \sup_{p \geq 4} R(p,t)/g(p) $ 从 $ t=0.5 $ 时的 1.53572 递减至 $ t=0.2 $ 时的 1.2163，表明随着 $ t $ 减小，集中性得到改善。