[论文解读] Schoenberg's Problem on Positive Definite Functions

Alexander Koldobsky|ArXiv.org|Oct 19, 1992

Mathematics and Applications参考文献 14被引用 26

一句话总结

本文通过证明当 $ n \geq 3 $ 且 $ q > 2 $ 时，对任意 $ \beta > 0 $，函数 $ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ 均非正定，从而解决了 Schoenberg 在 1938 年提出的问题，即 $ B_n(q) = \emptyset $。对于 $ n = 2 $，本文证明了 $ B_2(q) = (0,1] $，从而完整分类了所有维度和 $ q $-范数下的此类函数。

ABSTRACT

If $n \ge 3$, $q>2$ and $β> 0$ then the function $\exp(-(|x_1|^q+|x_2|^q+\dots+|x_n|^q)^{β/q})$\ is not positive definite. This result gives an answer to a question posed by I.J.~Schoenberg in 1938. This text is an authorized English translation of the paper published in Russian in Algebra and Analysis 3(1991), \#3, p.78--85.

研究动机与目标

• 解决 I.J. Schoenberg 在 1938 年提出的关于 $ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ 在 $ \mathbb{R}^n $ 上正定性的开放问题，其中 $ q > 2 $。
• 确定使得 $ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ 在 $ \mathbb{R}^n $ 上正定的 $ \beta > 0 $ 的精确集合 $ B_n(q) $，特别是针对 $ n \geq 3 $ 的情形。
• 通过傅里叶分析和相关概率测度的矩条件，证明当 $ n \geq 3 $ 时，不存在此类 $ \beta > 0 $，从而得出 $ B_n(q) = \emptyset $。
• 通过证明 $ B_2(q) = (0,1] $ 完成分类，解决该问题的剩余情形。
• 研究类 $ \phi_n(q) $ 的结构，该类由满足 $ f(\|x\|_q) $ 是 $ \mathbb{R}^n $ 上特征函数的偶函数 $ f $ 构成，并证明当 $ q > 2 $ 且 $ n \geq 3 $ 时，只有常数函数 $ f \equiv 1 $ 可属于 $ \phi_n(q) $。

提出的方法

• 利用 Bochner 定理，将 $ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ 的正定性与存在一个特征函数为 $ f(t) = \exp(-|t|^\beta) $ 的概率测度 $ \nu $ 在 $ \mathbb{R} $ 上的存在性联系起来。
• 应用齐次分布的傅里叶变换及解析延拓，推导出 $ \|x\|_q^\beta $ 的傅里叶变换的积分表示，该表示在 $ \beta \in (-n, qn) $ 范围内有效。
• 使用引理 5，将 $ \|x\|_q^\beta $ 的傅里叶变换表示为涉及 $ \gamma_q(t\xi_k) $ 的积分，其中 $ \gamma_q $ 为对称 $ q $-稳定密度的傅里叶变换。
• 利用 Fubini 定理计算一个涉及 $ |\xi_k| $ 的幂和傅里叶变换的多重线性积分 $ J_n(\alpha_1, \dots, \alpha_{n-1}) $，该积分可分解为 $ S_q(\alpha) $ 的乘积形式。
• 通过反证法证明：在假设 $ \nu $ 的 $ \beta $-阶矩有限的前提下，积分 $ J_n $ 必须为正，但 $ S_q $ 函数的结构在 $ \alpha_k \in (-1,0) $ 且 $ -\sum \alpha_k + \beta \in (2, \min(4,q)) $ 时导致负值，从而产生矛盾。
• 通过分析 Gamma 函数 $ \Gamma(-\beta/q) $ 的符号来区分情形：当 $ \beta \in (0,2) $ 时为负，当 $ \beta \in (-1,0) $ 时为正，该符号影响傅里叶变换的符号，从而导致积分计算中的矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ q > 2 $ 且 $ n \geq 3 $ 时，对哪些 $ \beta > 0 $，函数 $ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ 在 $ \mathbb{R}^n $ 上是正定的？
• RQ2 当 $ n = 2 $，$ q > 2 $ 时，此类 $ \beta $ 的精确集合 $ B_n(q) $ 是什么？其是否等于猜想中的 $ (0,1] $？
• RQ3 当 $ n \geq 3 $，$ q > 2 $ 时，是否存在非平凡函数 $ f \in \phi_n(q) $，使得 $ f(\|x\|_q) $ 为特征函数？
• RQ4 与 $ f \in \phi_n(q) $ 关联的测度 $ \nu $ 的矩条件是什么？这些条件如何限制此类函数的存在性？
• RQ5 当假设 $ \nu $ 的 $ \beta $-阶矩有限时，$ \|x\|_q^\beta $ 的傅里叶变换行为（特别是其符号）如何导致矛盾？

主要发现

• 当 $ n \geq 3 $ 且 $ q > 2 $ 时，集合 $ B_n(q) $ 为空集：对任意 $ \beta > 0 $，$ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ 均非正定。
• 当 $ n = 2 $ 时，$ B_2(q) = (0,1] $，确认 $ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ 正定当且仅当 $ \beta \leq 1 $。
• 当 $ n \geq 3 $ 时，与 $ f \in \phi_n(q) $ 对应的测度 $ \nu $ 的 $ \beta $-阶矩在 $ \beta \in (0,2) $ 时为无穷大；当 $ n = 2 $ 时，在 $ \beta \in (1,2) $ 时为无穷大。
• 当 $ n \geq 4 $ 时，$ \beta $-阶矩在 $ \beta \in (-1,0) $ 时为无穷大，表明 $ \nu $ 具有极端的尾部行为。
• 从 $ \|x\|_q^\beta $ 的傅里叶变换导出的积分 $ J_n(\alpha_1, \dots, \alpha_{n-1}) $ 在特定参数选择下被证明为负值，与若 $ \beta $-阶矩有限则该积分必须非负的性质矛盾。
• 矛盾源于 $ \Gamma(-\beta/q) $ 的符号以及乘积 $ S_q(\alpha_1) \cdots S_q(-\sum \alpha_k + \beta) $ 的符号：当 $ -\sum \alpha_k + \beta \in (2, \min(4,q)) $ 时，该乘积为负，而积分必须非负，从而导致矛盾。