[论文解读] Schrödinger model and Stratonovich-Weyl correspondence for Heisenberg motion groups

Benjamin Cahen|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 33被引用 2

一句话总结

本文通过构造一个广义的 Segal-Bargmann 变换并结合标准 Weyl 微分法，为 Heisenberg 运动群的酉不可约表示建立了 Stratonovich-Weyl 对应关系。关键结果是：Weyl 对应关系在 Schrödinger 模型上诱导出一个 Stratonovich-Weyl 对应关系，该关系通过酉等价性被证明与 Fock 模型中的对应关系等价。

ABSTRACT

We introduce a Schrödinger model for the unitai'y irreducible representations of a Heisenberg motion group and we show that the usual Weyl quantization then provides a Stratonovich-Weyl correspondence.

研究动机与目标

• 将 Stratonovich-Weyl 对应关系从 Heisenberg 群推广到 Heisenberg 运动群。
• 通过广义的 Segal-Bargmann 变换，为 Heisenberg 运动群的酉不可约表示构造一个 Schrödinger 模型。
• 证明标准 Weyl 对应关系在 Schrödinger 模型中诱导出 Stratonovich-Weyl 对应关系。
• 将 Schrödinger 模型中得到的 Stratonovich-Weyl 对应关系与通过 Berezin 微分法从 Fock 模型导出的对应关系进行比较。
• 通过广义的 Segal-Bargmann 变换建立两个对应关系之间的酉等价性。

提出的方法

• 将 Heisenberg 运动群构造为 (2n+1) 维 Heisenberg 群 Hn 与紧子群 K ⊂ U(n) 的半直积。
• 利用全纯诱导法在广义 Fock 空间中实现酉不可约表示，从而推广标准 Fock 模型。
• 引入广义的 Segal-Bargmann 变换，将 Fock 模型与 L2(Rn, V) 上的 Schrödinger 模型联系起来。
• 通过将标准 Weyl 微分法与 Berezin 理论在 K-轨道 o(ϕ0) 上的符号微分法相结合，定义 R2n × o(ϕ0) 上的修正 Weyl 微分法。
• 通过涉及符号 f 和 Berezin 微分法中酉部分 w 的逆的广义 Weyl 积分公式，定义 L2(Rn, V) 上的算子 W(f)。
• 通过变换 Φ 和算子 J 建立 Schrödinger 模型与 Fock 模型之间的酉等价性，从而实现在对应关系之间的转移。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 Heisenberg 运动群的 Schrödinger 模型构造 Stratonovich-Weyl 对应关系？
• RQ2 Schrödinger 模型上的 Weyl 对应关系与 Fock 模型中基于 Berezin 微分法的对应关系有何关系？
• RQ3 Schrödinger 模型上的 Weyl 对应关系是否在群作用下协变且保持迹？
• RQ4 Schrödinger 模型与 Fock 模型中的 Stratonovich-Weyl 对应关系之间存在何种精确关系？
• RQ5 广义的 Segal-Bargmann 变换能否用于联系两个模型并实现对应关系的转移？

主要发现

• 在 Schrödinger 模型 L2(Rn, V) 上的 Weyl 对应关系诱导出 Heisenberg 运动群 G 的 Stratonovich-Weyl 对应关系，该关系满足协变性与迹性。
• 证明了映射 W−1 是 (G, σ, R2n × o(ϕ0)) 的 Stratonovich-Weyl 对应关系，其中 dσ(X) 的符号具有以 λ、Tr(A) 和 A 对 j(p,q) 的作用表示的显式公式。
• 在 O(ϕ0) 上，映射 W′1 = τΨW−1 是 (G, σ, O(ϕ0)) 的 Stratonovich-Weyl 对应关系，而 W′2 = τΦU 是 (G, π, O(ϕ0)) 的 Stratonovich-Weyl 对应关系。
• 两个对应关系酉等价：W′1 = W′2IB，其中 IB 是 Fock 模型与 Schrödinger 模型之间的酉互致算子。
• 该构造推广了已知的 Heisenberg 群与钻石群的结果，将 Weyl 对应关系扩展到更广泛的拟酉李群类。
• 结果表明，当 Weyl 微分法与 K-轨道上的 Berezin 微分法结合时，可在 Schrödinger 表示中产生一致且协变的量子化映射。