[论文解读] Schr\"odinger operators on zigzag periodic graphs

Evgeny Korotyaev, I. S. Lobanov|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2006

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文研究了具有周期势的锯齿形周期度量图上的薛定谔算符，建立了谱结构为绝对连续谱与无限重数特征值的并集。文中在具有实分支点（共振）的黎曼曲面上引入了李雅普诺夫函数，证明了所有共振均为实数，并根据周期/反对称端点或共振端点将能隙分类为稳定（周期/反对称）或不稳定（共振），从而为一类有限间隙势建立了势与特征值之间的实解析同构关系。

ABSTRACT

We consider the Schrödinger operator on the so-called zigzag periodic metric graph (a continuous version of zigzag nanotubes) with a periodic potential. The spectrum of this operator consists of an absolutely continuous part (intervals separated by gaps) plus an infinite number of eigenvalues with infinite multiplicity. We describe all compactly supported (localization) eigenfunctions with the same eigenvalue. We define a Lyapunov function, which is analytic on some Riemann surface. On each sheet, the Lyapunov function has the same properties as in the scalar case, but it has branch points, which we call resonances. We prove that all resonances are real. We determine the asymptotics of the periodic and anti-periodic spectrum and of the resonances at high energy. We show that there exist two types of gaps: 1) stable gaps, where the endpoints are periodic and anti-periodic eigenvalues, 2) unstable (resonance) gaps, where the endpoints are resonances (i.e., real branch points of the Lyapunov function). We obtain the following results from the inverse spectral theory: 1) we describe all finite gap potentials, 2) the mapping: potential – all eigenvalues is a real analytic isomorphism for some class of potentials.

研究动机与目标

• 研究具有周期势的锯齿形周期度量图上薛定谔算符的谱性质。
• 刻画谱的结构，包括绝对连续部分和无限重数特征值。
• 在黎曼曲面上定义并研究李雅普诺夫函数，将其分支点识别为共振。
• 根据周期/反对称特征值或共振对谱隙进行分类，分为稳定或不稳定。
• 建立逆谱结果，包括有限间隙势与其特征值之间实解析同构关系。

提出的方法

• 在连续模型的锯齿形纳米管（表示为周期度量图）上进行谱分析。
• 作为在黎曼曲面上的解析函数构造李雅普诺夫函数，将标量情形推广至包含分支点的情形。
• 将李雅普诺夫函数的分支点定义为共振，并证明其为实数值。
• 推导高能区周期谱与反对称谱以及共振的渐近行为。
• 通过分析端点对谱隙进行分类：稳定谱隙以周期/反对称特征值为端点，不稳定谱隙以共振为端点。
• 应用逆谱理论，证明对于特定类别的有限间隙势，从势到其全部特征值的映射为实解析同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有周期势的锯齿形周期度量图上，薛定谔算符的谱结构是怎样的？
• RQ2 李雅普诺夫函数及其分支点（共振）在黎曼曲面上的行为如何？共振是否为实数？
• RQ3 什么区分了稳定谱隙（周期/反对称端点）与不稳定谱隙（共振端点）？
• RQ4 周期谱与反对称谱以及共振的高能渐近行为如何？
• RQ5 在多大程度上可唯一重构势函数？该重构的正则性如何？

主要发现

• 谱由绝对连续部分（被间隙分隔的区间）与无限多组无限重数特征值组成。
• 李雅普诺夫函数的所有分支点（定义为共振）均被证明为实数值。
• 谱隙分为两类：稳定谱隙以周期与反对称特征值为端点，不稳定谱隙以共振为端点。
• 周期谱、反对称谱以及共振的高能渐近行为被明确确定。
• 对于一类有限间隙势，从势到其全部特征值的映射为实解析同构。
• 本文通过谱数据完整描述了所有有限间隙势。