[论文解读] Schubert calculus and cohomology of Lie groups. Part I. 1-connected Lie groups

Haibao Duan, Xuezhi Zhao|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 35被引用 10

一句话总结

本文提出了一种统一的、基于舒伯特微积分的构造方法，用于所有1-连通紧致李群 $G$ 的整系数上同调环 $H^*(G;\mathbb{Z})$，包括五个例外群 $G_2, F_4, E_6, E_7, E_8$。通过利用纤维丛 $T \to G \to G/T$ 的勒雷–塞尔谱序列，并结合舒伯特类与关系的显式表示，作者推导出 $H^*(G)$ 的生成元与关系，解决了代数拓扑领域长期存在的问题。

ABSTRACT

Let $G$ be a compact and $1$--connected Lie group with a maximal torus $T$. Based on Schubert calculus on the flag manifold $G/T$ [15] we construct the integral cohomology ring $H^{\ast}(G)$ uniformly for all $G$.

研究动机与目标

• 解决长期存在的问题：为所有1-连通紧致李群 $G$ 构造一个统一的、与类型无关的整系数上同调环 $H^*(G;\mathcal{R})$ 的描述。
• 显式且统一地确定五个例外李群 $G_2, F_4, E_6, E_7, E_8$ 的整系数上同调环。
• 提供一种基于舒伯特微积分与谱序列的系统性方法，避免逐个分类处理。

提出的方法

• 利用纤维丛 $T \to G \to G/T$ 的勒雷–塞尔谱序列，其 $E_2$-页为 $E_2^{\ast,\ast}(G;\mathcal{R}) = H^\ast(G/T) \otimes \Lambda_{\mathcal{R}}^\ast(t_1,\dots,t_n)$。
• 应用定理1.2，将 $H^\ast(G/T)$ 表示为商环 $\mathbb{Z}[\omega_1,\dots,\omega_n, y_1,\dots,y_m]/\langle h_i, f_j, g_j \rangle$，其中 $\omega_i$ 为基本权，$y_j$ 为舒伯特类。
• 通过定义映射 $\varphi: \langle \omega_1,\dots,\omega_n \rangle \to E_2^{\ast,1}(G;\mathcal{R})$，令 $\varphi(P) = \sum p_i \otimes t_i$，将 $H^\ast(G/T)$ 中的关系上移到谱序列中。
• 利用典范同态 $\kappa: E_3^{2k,1}(G;\mathcal{R}) \to H^{2k+1}(G;\mathcal{R})$，将 $E_3$-类解释为 $H^\ast(G;\mathcal{R})$ 中的上同调类。
• 通过结合谱序列数据与来自 $H^\ast(G/T)$ 的多项式关系 $h_i, f_j, g_j$，显式构造 $H^\ast(G;\mathcal{R})$ 的生成元与关系。
• 通过同构 $r_p: \sigma_p(G) \to \operatorname{Im}\delta_p$ 控制 $H^\ast(G;\mathbb{F}_p)$ 中的挠类，并利用关系 (4.2) 计算平方 $\xi_{s-1}^2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为1-连通紧致李群 $G$ 的整系数上同调环 $H^*(G;\mathbb{Z})$ 提供一种与 $G$ 的外尔群类型无关的统一构造？
• RQ2 例外李群 $E_8, E_7, E_6, F_4, G_2$ 的上同调环 $H^*(G;\mathbb{Z})$ 的结构是怎样的？
• RQ3 在 $H^*(G/T)$ 中的关系，特别是涉及舒伯特类与基本权的关系，如何通过谱序列转化为 $H^*(G)$ 中的关系？
• RQ4 $E_2$-微分 $d_2(x \otimes t_k) = x\omega_k \otimes 1$ 在确定 $G$ 的上同调中的作用是什么？
• RQ5 在 $H^*(G;\mathbb{F}_p)$ 中的挠类，特别是 $p=2,3,5$ 的情况，如何由 $G$ 的基本数据控制？

主要发现

• 本文为所有1-连通紧致李群（包括五个例外群）提供了 $H^*(G;\mathbb{Z})$ 的完整且统一的构造，解决了问题1.1。
• 对于 $G = E_8$，上同调环由非平凡关系 $\phi = 2y_4^5 - y_6^3 + y_7^2 + \beta = 0$ 确定，其中 $\beta \in \langle \omega_1,\dots,\omega_8 \rangle$，该关系诱导了 $g_4, g_6, g_7$ 之间的复杂关系。
• 整系数上同调环 $H^*(G;\mathbb{Z})$ 由舒伯特类的拉回 $x_s = \pi^*(y_i)$ 与权多项式 $P$ 的提升 $\varphi(P)$ 生成，关系来源于 $h_i, f_j, g_j$。
• $H^*(G;\mathbb{F}_p)$ 中的挠类由基本数据控制：$d^1(G;p)$ 与 $\overline{d}^1(G;p)$，关系 $\mathcal{F}_s$ 与 $\mathcal{H}_{s,I}$ 已显式计算。
• $H^*(G;\mathbb{Z})$ 的结构被证明是多项式环上自由外代数模关系的结果，其自由部分由具有自由平方的元素 $\varrho_{s-1}$ 决定。
• 所有经典与例外1-连通李群的基本数据——包括 $\{\deg h_i\}$、$\{\deg y_j\}$、$\{p_j\}$、$\{k_j\}$——在表5.1与表5.2中列出，为上同调环提供了完整的不变量。