[论文解读] Schubert Polynomials in Types A and C

David Anderson, William Fulton|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2021

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文通过在多项式环 $\Lambda = \mathbb{Z}[c_1, c_2, \ldots]$ 中引入系数，将经典双 Schubert 多项式扩展为类型 A 和 C 的丰富 Schubert 多项式，其中 $c_k$ 编码了 Chern 类。该构造通过特化统一了经典 Schubert 多项式、反向稳定多项式以及类型 C 的类似物，并为挠率簇公式提供了几何框架，且对 vexillary 排列的不可约多项式具有重要意义。

ABSTRACT

Enriched versions of type A Schubert polynomials are constructed with coefficients in a polynomial ring in variables $c_1, c_2, \ldots$. Specializing these variables to $0$ recovers the double Schubert polynomials of Lascoux and Schützenberger; specializing them to certain power series recovers the back-stable double Schubert polynomials of Lam, Lee, and Shimozono; specializing them to Schur Q-polynomials relates them to the type C double Schubert polynomials of Ikeda, Mihalcea, and Naruse. Many formulas for classical Schubert polynomials generalize to this setting. They give, and are characterized by, formulas for degeneracy loci.

研究动机与目标

• 在 $\Lambda = \mathbb{Z}[c_1, c_2, \ldots]$ 中构造类型 A 的丰富 Schubert 多项式，推广经典双 Schubert 多项式。
• 通过将 $c_k$ 映射到 Schur Q-多项式，建立类型 A 与类型 C Schubert 多项式之间的几何与代数桥梁。
• 将反向稳定 Schubert 多项式理论扩展至包含无限排列，并为挠率簇提供统一框架。
• 开发一种带参数 $z$ 的多项式变体，对应于线丛的第一 Chern 类。
• 证明所有 vexillary 排列的丰富多项式均为不可约，这一性质不同于经典 Schubert 多项式。

提出的方法

• 在环 $\Lambda[x,y]$ 中构造丰富 Schubert 多项式 $\mathsf{S}_w$，其中 $\Lambda = \mathbb{Z}[c_1, c_2, \ldots]$，$c_k$ 的次数为 $k$，推广经典双 Schubert 多项式。
• 通过 Schur 多项式 $S_\lambda(c) = \det(c_{\lambda_i + j - i})$ 的行列式公式，对 vexillary 排列进行构造，确保 $\mathsf{S}_w$ 对 vexillary $w$ 的不可约性。
• 应用 [AF3] 中的差分算子与过渡公式，递归地从 vexillary 多项式构建所有 Schubert 多项式。
• 通过将 $\Lambda$ 替换为 $\bm{\Lambda} = \Lambda[z]$，定义扭曲的丰富 Schubert 多项式 $\mathbf{S}_w$，以建模线丛的第一 Chern 类。
• 建立从 $\Lambda$ 到反向稳定环 $\overleftarrow{R}$ 的同态，将 $\mathsf{S}_w$ 映射为反向稳定 Schubert 多项式 $\overleftarrow{\mathfrak{S}}_w(x;a)$，其中 $y_i \mapsto -a_i$。
• 通过其在具有双线性配对 $V \times W \to L$ 和 isotropic 范例的向量丛挠率簇公式中的作用，对多项式进行表征。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 Chern 类变量 $c_k$ 对经典 Schubert 多项式进行丰富化，以统一类型 A 和 C 的 Schubert 微分几何？
• RQ2 丰富 Schubert 多项式在具有双线性配对的向量丛挠率簇中的几何意义是什么？
• RQ3 丰富多项式与反向稳定 Schubert 多项式之间有何关系，且嵌入 $\Lambda \to \overleftarrow{R}$ 的意义何在？
• RQ4 为何丰富 Schubert 多项式对所有 vexillary 排列均为不可约，而其经典对应项并非如此？
• RQ5 类型 A 和 C 中扭曲 Schubert 多项式的相容性如何？在类型 C 中，Chern 类 $c_k(V - E - F)$ 如何出现？

主要发现

• 在 $\Lambda[x,y]$ 中的丰富 Schubert 多项式 $\mathsf{S}_w$ 对所有 vexillary 排列均为不可约，这是其与经典 Schubert 多项式的关键区别。
• 将 $c_k \to 0$ 特化可恢复 Lascoux 与 Schützenberger 的经典双 Schubert 多项式。
• 将 $c_k \to q_k$（Schur Q-多项式）特化，可得到 Ikeda、Mihalcea 与 Naruse 的类型 C 双 Schubert 多项式。
• 同态 $\Lambda \to \overleftarrow{R}$，将 $y_i \to -a_i$，使得 $\mathsf{S}_w$ 实现为反向稳定 Schubert 多项式 $\overleftarrow{\mathfrak{S}}_w(x;a)$，将丰富理论嵌入反向稳定框架。
• 在 $\Lambda[z][x,y]$ 中的扭曲丰富 Schubert 多项式 $\mathbf{S}_w$ 通过将 $x_i$ 替换为 $x_i - z$ 得到，且在类型 A 与 C 之间具有相容性。
• 类型 C 的环 $\bm{\Gamma} = \bm{\Lambda}/I$ 编码了 Chern 类 $c_k(V - E - F)$，且映射 $c_k \mapsto q_k$ 将类型 A 的多项式映射到类型 C 的 Schubert 多项式。