[论文解读] Schur Multipliers and Spherical Functions on Homogeneous Trees

Uffe Haagerup, Troels Steenstrup+1 more|ArXiv.org|Aug 31, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文通过Hankel矩阵的迹类准则，建立了在度数为$q+1$的齐次树上，径向函数为Schur乘子的充要条件。推导了Schur范数的显式公式，并将这些结果应用于计算自由群$ℝ_N$和$p$-进群${PGL}_2(ℑ_q)$上的完全有界傅里叶乘子范数，揭示了有界性的精确谱条件。

ABSTRACT

Let X be a homogeneous tree of degree q+1 (for q between 2 and infinity) and let f be a complex function on X times X for which f(x,y) only depend on the distance between x and y in X. Our main result gives a necessary and sufficient condition for such a function to be a Schur multiplier on X times X. Moreover, we find a closed expression for the Schur norm of f. As applications, we obtain a closed expression for the completely bounded Fourier multiplier norm of the radial functions on the free (non-abelian) group on N generators (for N between 2 and infinity) and of the spherical functions on the p-adic group PGL_2(Q_q) for every prime number q.

研究动机与目标

• 刻画齐次树上为Schur乘子的径向函数。
• 为这类函数的Schur范数推导闭式表达式。
• 将结果应用于计算自由群$\mathbb{F}_N$和$p$-进群${PGL}_2(\mathbb{Q}_q)$上的完全有界傅里叶乘子范数。

提出的方法

• 利用到希尔伯特空间的有界映射来表征Schur乘子的格罗滕迪克定理。
• 通过$h_{i,j} = \dot{\varphi}(i+j) - \dot{\varphi}(i+j+2)$从径向函数$\dot{\varphi}$定义Hankel矩阵$H$。
• 证明$\tilde{\varphi}$是Schur乘子当且仅当$H$是迹类矩阵，且Schur范数依赖于$c_\pm$和$\|H\|_1$或加权$\ell^1$-范数。
• 应用佩勒的Hankel算子迹类表征，获得径向Schur乘子的积分表示。
• 通过商映射$\rho$，将树$X = G/K$上的球函数与群$G = {PGL}_2(\mathbb{Q}_q)$上的球函数联系起来，使用莫滕的参数化方法。
• 利用谱条件$\mathrm{Re}(s)^2 + \big(\frac{q+1}{q-1}\big)^2\mathrm{Im}(s)^2 < 1$来确定$M_0A$范数的有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在度数为$q+1$的齐次树上，哪些径向函数是Schur乘子？
• RQ2 这类函数的Schur范数的精确表达式如何用径向函数的取值表示？
• RQ3 自由群$\mathbb{F}_N$上的球函数与相应齐次树上的Schur乘子之间有何关系？
• RQ4 ${PGL}_2(\mathbb{Q}_q)$上径向函数的完全有界傅里叶乘子范数是多少？
• RQ5 何种谱条件可确保${PGL}_2(\mathbb{Q}_q)$上的一个球函数是完全有界傅里叶乘子？

主要发现

• 在度数为$q+1$的齐次树上，径向函数$\tilde{\varphi}$是Schur乘子当且仅当其Hankel矩阵$H$（元素为$h_{i,j} = \dot{\varphi}(i+j) - \dot{\varphi}(i+j+2)$）是迹类矩阵。
• Schur范数$\|\tilde{\varphi}\|_S$为：当$q = \infty$时，$|c_+| + |c_-| + \|H\|_1$；当$q < \infty$时，$|c_+| + |c_-| + \big(1 - \frac{1}{q}\big)\|\big(I - \frac{\tau}{q}\big)^{-1}H\|_1$，其中$c_\pm = \frac{1}{2}\big(\lim \dot{\varphi}(2n) \pm \lim \dot{\varphi}(2n+1)\big)$。
• 自由群$\mathbb{F}_N$（$2 \leq N \leq \infty$）上的完全有界傅里叶乘子范数，与相应齐次树上Schur范数的公式相同。
• 对于${PGL}_2(\mathbb{Q}_q)$上的球函数，当$\mathrm{Re}(s)^2 + \big(\frac{q+1}{q-1}\big)^2\mathrm{Im}(s)^2 < 1$时，$M_0A(G)$范数为$\frac{|1 - s^2|}{1 - \mathrm{Re}(s)^2 - \big(\frac{q+1}{q-1}\big)^2\mathrm{Im}(s)^2}$，否则为1。
• 在谱区域内，${PGL}_2(\mathbb{Q}_q)$上完全有界球函数的$M_0A(G)$-范数没有统一上界，其范数可在该区域内任意大。