[论文解读] Schur-Weyl duality for the unitary groups of $II_1$-factors

N. I. Nessonov|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文为任意可分的 ${\rm II}_1$-因子 $\mathcal{M}$ 的酉群建立了非交换的 Schur-Weyl 对偶性，表明 $U(\mathcal{M})$ 在 $L^2(\mathcal{M},{\rm tr})^{\otimes p} \otimes L^2(\mathcal{M},{\rm tr})^{\otimes q}$ 上的联合作用可分解为由整数分拆 $\lambda \vdash p$，$\mu \vdash q$ 索引的不可约分量，其酉等价性由维数乘积 ${\rm dim}\,\lambda \cdot {\rm dim}\,\mu$ 决定。该表示的交换子被证明是 $\mathcal{M}^{\otimes p} \otimes \mathcal{M}'^{\otimes q}$ 上对称群作用下的固定点代数，构成一个有限因子。

ABSTRACT

We obtain the analogue of Schur-Weyl duality for the unitary group of an arbitrary ${ m II}_1$-factor

研究动机与目标

• 将 Schur-Weyl 对偶性推广至 ${\rm II}_1$-因子的酉群设定，将经典 $GL(n)$ 与 $S_p$ 之间的对偶性推广至无限维因子。
• 刻画联合酉表示 $\mathfrak{L}^{\otimes p} \otimes \mathfrak{R}^{\otimes q}(U(\mathcal{M}))$ 在 $L^2(\mathcal{M},{\rm tr})$-空间张量积上的交换子。
• 通过对称群的表示论不变量，确定表示的不可约分量在酉等价下的条件。

提出的方法

• 通过左乘和右乘定义 $U(\mathcal{M})$ 在 $L^2(\mathcal{M},{\rm tr})^{\otimes p}$ 上的左正则表示 $\mathfrak{L}^{\otimes p}(u)$ 和右正则表示 $\mathfrak{R}^{\otimes p}(u)$。
• 在张量积空间上引入对称群作用 $\mathcal{P}_p(s)$，通过 $s \in \mathfrak{S}_p$ 置换张量因子。
• 构造投影算子 $P_p^\lambda = \frac{{\rm dim}\,\lambda}{p!} \sum_{s \in \mathfrak{S}_p} \chi^\lambda(s) \mathcal{P}_p(s)$，将其投影到由分拆 $\lambda \vdash p$ 索引的不可约子表示上。
• 利用群作用和双交换定理，将固定点代数 $\left(\mathcal{M}^{\otimes p}\right)^{\mathfrak{S}_p} \otimes \left(\mathcal{M}'^{\otimes q}\right)^{\mathfrak{S}_q}$ 作为表示的交换子。
• 应用同构 $R_P: {}^\theta\!\mathcal{F}' \to \left(\mathcal{F}^G\right)'$，将交换子与群 $G = \mathfrak{S}_p \times \mathfrak{S}_q$ 作用下的固定点代数关联，确立其因子结构。
• 在交换子上使用迹 $\tau'$ 比较投影算子，通过投影 $P_p^\lambda \otimes P_q^\mu$ 的迹相等推导出酉等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 联合酉表示 $\mathfrak{L}^{\otimes p} \otimes \mathfrak{R}^{\otimes q}(U(\mathcal{M}))$ 在 $L^2(\mathcal{M},{\rm tr})^{\otimes p} \otimes L^2(\mathcal{M},{\rm tr})^{\otimes q}$ 上的交换子是什么？
• RQ2 该表示的不可约分量在酉等价下如何分类？
• RQ3 对称群作用在将张量积空间分解为同型分量中起什么作用？
• RQ4 在何种条件下，两个此类不可约分量是酉等价的？
• RQ5 交换子上的迹如何反映对称群的表示论数据？

主要发现

• 表示 $\mathfrak{L}^{\otimes p} \otimes \mathfrak{R}^{\otimes q}(U(\mathcal{M}))$ 的交换子是冯诺依曼代数 $\left(\mathcal{M}^{\otimes p}\right)^{\mathfrak{S}_p} \otimes \left(\mathcal{M}'^{\otimes q}\right)^{\mathfrak{S}_q}$，其为一个有限因子。
• 限制在子空间 $P_p^\lambda \otimes P_q^\mu$ 上的表示 $\Pi_{\lambda\mu}$ 与完整表示 $\mathfrak{L}^{\otimes p} \otimes \mathfrak{R}^{\otimes q}$ 是准等价的。
• 两个不可约分量 $\Pi_{\lambda\mu}$ 和 $\Pi_{\gamma\delta}$ 当且仅当 ${\rm dim}\,\lambda \cdot {\rm dim}\,\mu = {\rm dim}\,\gamma \cdot {\rm dim}\,\delta$ 时酉等价，该条件由交换子上的迹确定。
• 交换子中投影 $P_p^\lambda \otimes P_q^\mu$ 的迹为 $\tau'(P_p^\lambda \otimes P_q^\mu) = \frac{{\rm dim}\,\lambda \cdot {\rm dim}\,\mu}{p!\,q!}$，该值唯一确定了酉等价类。
• 同构 $R_P: {}^\theta\!\mathcal{F}' \to \left(\mathcal{F}^G\right)'$ 建立了交换子与固定点代数之间的对应关系，确认了交换子的因子结构。
• 通过对称群的表示论，通过中心投影 $P_p^\lambda$，实现了 $U(\mathcal{M})$ 作用下张量积空间的不可约分量的完全分解。