[论文解读] Schwartz families in tempered distribution spaces

David Carfì|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2011

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文引入了施瓦茨族——以欧几里得空间为指标的广义矩阵——作为在温和分布空间中处理无限维算子的严格框架。它建立了施瓦茨族空间与施瓦茨测试函数空间上连续线性算子之间的典范同构，为量子力学中的无限矩阵提供了数学上严谨的模型。

ABSTRACT

In this paper we define Schwartz families in tempered distribution spaces and prove many their properties. Schwartz families are the analogous of infinite dimensional matrices of separable Hilbert spaces, but for the Schwartz test function spaces, having elements (functions) realizable as vectors indexed by real Euclidean spaces (ordered families of scalars indexed by real Euclidean spaces). In the paper, indeed, one of the consequences of the principal result (the characterization of summability for Schwartz families) is that the space of linear continuous operators among Schwartz test function spaces is linearly isomorphic with the space of Schwartz families. It should be noticed that this theorem is possible because of the very good properties of Schwartz test function spaces and because of the particular structures of the Schwartz families viewed as generalized matrices; in fact, any family of tempered distribution, regarded as generalized matrix, has one index belonging to a Euclidean space and one belonging to a test function space, so that any Schwartz family is a matrix in the sense of distributions. Another motivation for the introduction and study of these families is that these are the families which are summable with respect to every tempered system of coefficients, in the sense of superpositions. The Schwartz families we present in this paper are one possible rigorous and simply manageable mathematical model for the infinite matrices used frequently in Quantum Mechanics.

研究动机与目标

• 使用温和分布理论形式化量子力学中使用的无限矩阵的严格数学模型。
• 定义并表征施瓦茨族——具有特定衰减与光滑性性质的温和分布的指标族。
• 在施瓦茨族空间与施瓦茨测试函数空间上连续线性算子空间之间建立典范同构。
• 通过定义在欧几里得空间上的族，为分布的可求和性与叠加性提供框架。
• 利用分布对偶性与拓扑向量空间理论，为量子理论中的算子表示提供结构性基础。

提出的方法

• 将施瓦茨族定义为从欧几里得空间 $\mathbb{R}^m$ 到温和分布空间 $\mathcal{S}_n'$ 的映射，记为 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^m, \mathcal{S}_n')$。
• 通过 $v(\phi)(p) = v_p(\phi)$ 定义族 $v$ 对测试函数 $\phi \in \mathcal{S}_n$ 的作用，得到 $\mathbb{R}^m$ 上的标量函数。
• 利用族可表示为任意温和系数系统下叠加的性质，表征施瓦茨族的可求和性。
• 建立典范表示 $v \mapsto \widehat{v}$，其中 $\widehat{v}(\phi)(p) = v_p(\phi)$，将族映射到连续线性算子空间 $\mathcal{L}(\mathcal{S}_n, \mathcal{S}_m)$。
• 证明映射 $v \mapsto \widehat{v}$ 是从 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^m, \mathcal{S}_n')$ 到 $\mathcal{L}(\mathcal{S}_n, \mathcal{S}_m)$ 的向量空间同构。
• 利用巴拿赫-斯坦豪斯定理证明算子 $A$ 的可转置性等价于对所有 $p \in \mathbb{R}^m$ 有 $\delta_p \circ A \in \mathcal{S}_n'$，从而保证 $a \circ A$ 对所有 $a \in \mathcal{S}_m'$ 连续。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在分布理论中严格形式化量子力学中的无限矩阵？
• RQ2 何种条件可确保一族温和分布定义施瓦茨空间上的连续线性算子？
• RQ3 施瓦茨族在何种意义下可求和或叠加？系数系统在此过程中起什么作用？
• RQ4 施瓦茨空间之间连续线性算子空间与分布族空间之间如何同构？
• RQ5 何种刻画可确保施瓦茨空间之间线性算子的拓扑可转置性？

主要发现

• 施瓦茨族空间 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^m, \mathcal{S}_n')$ 与连续线性算子空间 $\mathcal{L}(\mathcal{S}_n, \mathcal{S}_m)$ 之间存在线性同构，通过 $v \mapsto \widehat{v}$ 建立典范表示。
• 逆映射 $A \mapsto A^\vee = (\delta_p \circ A)_{p \in \mathbb{R}^m}$ 将算子空间实现为施瓦茨族空间。
• 线性算子 $A: \mathcal{S}_n \to \mathcal{S}_m$ 拓扑可转置当且仅当对所有 $p \in \mathbb{R}^m$ 有 $\delta_p \circ A \in \mathcal{S}_n'$。
• 施瓦茨族 $v$ 对测试函数 $\phi$ 的作用产生函数 $v(\phi) \in \mathcal{F}(\mathbb{R}^m, \mathbb{K})$，实现与分布的矩阵式乘法。
• 族 $v$ 关于任意温和系数系统可求和，使其适用于分布理论中的叠加原理。
• 通过典范表示 $v \mapsto \widehat{v}$ 建立了 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^m, \mathcal{S}_n')$ 与 $\mathcal{L}(\mathcal{S}_n, \mathcal{S}_m)$ 之间的同构，该同构保持所有线性与拓扑结构。