[论文解读] Schwartz functions, tempered distributions, and Kernel Theorem on solvable Lie groups

Emilie David-Guillou|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2010

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文引入了连通、单连通可解李群 $G$ 上光滑且快速递减函数的广义施瓦茨空间 $\mathcal{S}_{\sigma}(G)$，通过权函数 $\sigma$ 纳入群的几何结构。该文建立了该空间的分布理论，并证明了非欧几里得情形下的施瓦茨核定理推广，表明从 $\mathcal{S}_{\sigma_1}(G_1)$ 到 $\mathcal{S}_{\sigma_2}(G_2)$ 对偶空间的连续线性映射可由 $G_1 \times G_2$ 上唯一的分布核表示，将经典结果推广至可解李群。

ABSTRACT

Let G be a solvable Lie group endowed with right Haar measure. We define and study a dense Frechet *-subalgebra S of L1(G), consisting of smooth functions rapidly-decreasing at infinity on G. When G is nilpotent, we recover the classical Schwartz algebra introduced by R. Howe and other authors. We develop a distribution theory for S, and we generalize the classical Kernel Theorem of L. Schwartz to our setting.

研究动机与目标

• 为连通、单连通可解李群 $G$ 定义一个 $L^1(G)$ 的稠密弗雷chet $\ast$-子代数 $\mathcal{S}_{\sigma}(G)$，推广经典施瓦茨空间。
• 在 $\mathcal{S}_{\sigma}(G)$ 上发展分布理论，通过缓慢增长函数及其导数将对偶空间识别为温和分布空间。
• 将经典施瓦茨核定理推广至可解李群情形，建立连续线性映射空间与乘积群上分布空间之间的拓扑同构。
• 为特定类别的可解李群（包括指数可解群和幂零群）提供 $\mathcal{S}_{\sigma}(G)$ 的显式描述。
• 证明乘积群 $G_1 \times G_2$ 上的快速递减函数空间是各自主代数 $\mathcal{S}_{\sigma_1}(G_1)$ 与 $\mathcal{S}_{\sigma_2}(G_2)$ 的完备项目张量积。

提出的方法

• 在 $G$ 上定义一个权函数 $\sigma$，以编码群的几何增长特性，特别是非幂零可解群中的指数体积增长。
• 将 $\mathcal{S}_{\sigma}(G)$ 构造为 $G$ 上光滑函数 $\phi$ 的空间，使得对所有 $k \in \mathbb{N}$ 和多指标 $\alpha$，有 $\|\sigma^k X^\alpha \phi\|_{L^\infty(G)} < \infty$，其中 $X^\alpha$ 为左 invariant 向量场。
• 通过由权函数 $\sigma$ 及其导数导出的可数个半范数族，赋予 $\mathcal{S}_{\sigma}(G)$ 一个弗雷chet拓扑。
• 证明 $\mathcal{S}_{\sigma}(G)$ 是 $L^1(G)$ 的稠密 $\ast$-子代数，且 $C_0^\infty(G)$ 是其稠密 $\ast$-子空间。
• 将对偶空间 $\mathcal{S}_{\sigma}^\prime(G)$ 特征化为缓慢增长函数及其导数的有限线性组合空间。
• 利用项目张量积拓扑和空间的核性，建立同构 $\mathcal{S}_{\sigma}^\prime(G_1 \times G_2) \cong \mathcal{S}_{\sigma_1}^\prime(G_1) \widehat{\otimes} \mathcal{S}_{\sigma_2}^\prime(G_2)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典施瓦茨空间 $\mathcal{S}(G)$ 在幂零李群上的定义推广至非幂零可解李群，其中指数映射不再保持快速递减函数的可积性？
• RQ2 必须将可解李群的何种几何结构纳入函数空间，以确保函数及其导数的快速衰减，同时保持可积性？
• RQ3 经典施瓦茨核定理能否推广至可解李群？若能，其成立的拓扑与代数条件为何？
• RQ4 乘积群 $G_1 \times G_2$ 上的快速递减函数空间与 $G_1$ 和 $G_2$ 上各自函数空间的张量积有何关系？
• RQ5 广义施瓦茨空间 $\mathcal{S}_{\sigma}(G)$ 的对偶空间的精确结构为何？其如何推广温和分布的概念？

主要发现

• 对任意连通、单连通可解李群 $G$，空间 $\mathcal{S}_{\sigma}(G)$ 是 $L^1(G)$ 的稠密弗雷chet $\ast$-子代数，且 $C_0^\infty(G)$ 是其稠密 $\ast$-子代数。
• 当 $G$ 为幂零群时，$\mathcal{S}_{\sigma}(G)$ 与经典施瓦茨空间 $\mathcal{S}(G)$ 一致，此时恢复标准理论。
• 对偶空间 $\mathcal{S}_{\sigma}^\prime(G)$ 恰好由缓慢增长函数及其导数的有限线性组合构成，推广了温和分布的概念。
• 对于乘积群 $G_1 \times G_2$，空间 $\mathcal{S}_{\sigma}(G_1 \times G_2)$ 与完备项目张量积 $\mathcal{S}_{\sigma_1}(G_1) \widehat{\otimes} \mathcal{S}_{\sigma_2}(G_2)$ 之间存在自然同构，且由于空间的核性，项目拓扑与 $\epsilon$-拓扑一致。
• 广义核定理成立：存在拓扑同构 $L(\mathcal{S}_{\sigma_1}(G_1), \mathcal{S}_{\sigma_2}^\prime}(G_2)) \cong \mathcal{S}_{\sigma}^\prime(G_1 \times G_2)$，其中每个连续线性映射均由唯一的分布核表示。
• 该同构显式给出为 $\langle K, \phi \otimes \psi \rangle = \langle \mathcal{K}\phi, \psi \rangle$，其中 $\phi \in \mathcal{S}_{\sigma_1}(G_1)$，$\psi \in \mathcal{S}_{\sigma_2}(G_2)$，且 $\mathcal{K} \in L(\mathcal{S}_{\sigma_1}(G_1), \mathcal{S}_{\sigma_2}^\prime}(G_2))$。