[论文解读] Scorza quartics of trigonal spin curves and their varieties of power sums

Hiromichi Takagi, Zucconi, Francesco|ArXiv.org|Jan 11, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 9

一句话总结

本文为一般三行曲线与非有效theta特征的配对构造了与Scorza四次曲面相关的幂和变体的新子簇，推广了Mukai关于十二类初等Fano三倍积的成果。关键贡献在于证明了此类配对的Scorza四次曲面的存在性，证实了Dolgachev与Kanev的猜想，并通过del Pezzo三倍积的blow-up，建立了三行自旋曲线模空间与幂和变体之间的双有理对应关系。

ABSTRACT

Our fundamental result is the construction of new subvarieties in the varieties of power sums for the Scorza quartic of any general pairs of trigonal curves and non-effective theta characteristics. This is a generalization of Mukai's description of smooth prime Fano threefolds of genus twelve as the varieties of power sums for plane quartics. Among other applications, we give an affirmative answer to the conjecture of Dolgachev and Kanev on the existence of the Scorza quartic for any general pairs of curves and non-effective theta characteristics.

研究动机与目标

• 为一般三行自旋曲线的Scorza四次曲面，在幂和变体中构造新子簇。
• 将Mukai对十二类初等Fano三倍积作为平面四次曲面幂和变体的描述进行推广。
• 证明任意一般三行曲线对与非有效theta特征配对的Scorza四次曲面的存在性，确认Dolgachev与Kanev的猜想。
• 通过五次del Pezzo三倍积的blow-up，建立三行自旋曲线模空间与幂和变体之间的双有理对应关系。

提出的方法

• 沿五次del Pezzo三倍积 $B$ 上一条度为 $d$ 的光滑有理曲线 $C_d$ 进行blow-up，构造新三倍积 $A$，其支持一个两射线游戏结构。
• 通过曲线 $\mathcal{H}_1$ 与 $\mathcal{H}_2$ 参数化 $A$ 上的标记直线与标记圆锥，证明其为不可约且具有预期维数。
• 从 $A$ 的迭代blow-up $\widetilde{A}$ 构造一个到幂和变体 $\mathrm{VSP}(F_4,n)$ 的态射，其中 $F_4$ 为Scorza四次曲面。
• 利用 $\mathcal{H}_1$ 与 $\mathcal{H}_2$ 之间的theta对应与对偶性，定义判别式分支，并将Scorza四次曲面 $F_4$ 特征化为在判别式上消失的唯一四次曲面。
• 应用双有理几何技术，包括单值不变性与Hilbert概形上的不可约性论证，证明 $\mathrm{VSP}(F_4,n;\mathcal{H}_2)$ 的主分支同构于 $B$ 沿 $C_d$ 的blow-up。
• 建立从此类曲线模空间 $\mathcal{M}_d$ 到三行曲线与偶theta特征配对模空间 $\widetilde{\mathcal{M}}'_{d-2}$ 的有理映射 $\pi_{\mathcal{M}}$，并证明其为双有理映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 Dolgachev与Kanev所猜想的，对于任意一般三行曲线对与非有效theta特征配对，Scorza四次曲面是否存在？
• RQ2 Scorza四次曲面的幂和变体能否作为五次del Pezzo三倍积沿一条度为 $d$ 的有理曲线的blow-up来实现？
• RQ3 三行自旋曲线的模空间是否与Scorza四次曲面的幂和变体双有理同构？
• RQ4 从del Pezzo三倍积的blow-up上直线与圆锥的几何结构出发，Scorza四次曲面的幂和变体具有怎样的几何结构？
• RQ5 对于 $d \leq 6$，del Pezzo三倍积上度为 $d$ 的有理曲线的Hilbert概形是否不可约？

主要发现

• Scorza四次曲面 $F_4$ 的幂和变体 $\mathrm{VSP}(F_4,n;\mathcal{H}_2)$ 的主分支同构于五次del Pezzo三倍积 $B$ 沿光滑有理曲线 $C_d$（度为 $d$）的blow-up，且包含其双割线的严格提升。
• 有理映射 $\pi_{\mathcal{M}}: \mathcal{M}_d \dashrightarrow \widetilde{\mathcal{M}}'_{d-2}$ 为双有理映射，其像支配三行曲线模空间 $\mathcal{M}'_{d-2}$（其上带有偶theta特征）。
• 当 $d \leq 6$ 时，参数化 $B$ 上度为 $d$ 的光滑有理曲线的Hilbert概形 $\mathcal{H}_d^B$ 不可约，确认了这些度数下分量的唯一性。
• 已证明任意一般三行曲线对与非有效theta特征配对的Scorza四次曲面的存在性，证实了Dolgachev与Kanev的猜想。
• 主分支 $\mathrm{VSP}(F_4,n;\mathcal{H}_2)$ 的正规化同构于 $B$ 沿 $C_d$ 的blow-up，且此构造将幂和变体实现为 $A$ 上直线与圆锥几何结构的几何对象。
• 此类曲线的模空间 $\mathcal{M}_d$ 的维数为 $2d-3$，与三行自旋曲线（亏格为 $d-2$）的模空间维数一致，支持了 $\pi_{\mathcal{M}}$ 的双有理性。