[论文解读] Scrambled and distributionally scrambled n-tuples

Jana Doleželová|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 1

一句话总结

该论文通过在单边移位空间上利用改进的莫尔斯序列构造一个动力系统，证明了不可数的极端分布混沌集合的存在并不意味着存在混沌三元组。作者通过精心选择的块构建了一个不变的Mycielski集合，表明在极端分布混沌（即极端分布混沌性）的意义下，混沌可以存在而无需经典Li-Yorke混沌中的三元组，从而解决了拓扑动力系统中混沌类型层次结构长期悬而未决的开放问题。

ABSTRACT

This article investigates the relation between the distributional chaos and the existence of a scrambled triple. We show that for a continuous mapping $f$ acting on a compact metric space $(X,d)$, the possession of an infinite extremal distributionally scrambled set is not sufficient for the existence of a scrambled triple. We also construct an invariant Mycielski set with an uncountable extremal distributionally scrambled set without any scrambled triple.

研究动机与目标

• 该论文研究不可数极端分布混沌集合的存在是否必然意味着混沌三元组的存在。
• 该研究解决了一个开放问题：系统是否可能在无任何混沌三元组的情况下仍为分布混沌？
• 作者旨在构造一个系统，使其为分布混沌n-混沌但非n-混沌（n=3）。
• 他们聚焦于2-移位空间Σ₂，并利用改进的莫尔斯序列来构建此类系统。
• 目标是证明在n元组动力学的层面上，分布混沌严格弱于经典Li-Yorke混沌。

提出的方法

• 该构造使用通过块M₀=0和Mᵢ=Mᵢ₋₁M̄ᵢ₋₁定义的改进莫尔斯序列，其中M̄ᵢ₋₁为二进制补码。
• 使用一个正整数序列{aₙ}，满足limₙ→∞ aₙ/aₙ₊₁ = 0，以定义序列中块的位置。
• 点xₐ被构造为交替的Mᵢᵃ和M̄ᵢᵃ块序列，索引由一个属于集合B的序列α决定，其中B是具有无限分歧的不可数二进制序列集合。
• 通过分析下分布函数Φ和上分布函数Φ*，证明了此类点的集合D为Cantor集，并且是极端分布2-混沌的。
• 系统被扩展为X = ⋃ᵢ≥₀ σⁱ(D)，形成一个不变的Mycielski集合。
• 通过莫尔斯极小集的无偏移性以及对轨道分离和递归性的细致分析，验证了其拓扑和动力学性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 不可数极端分布混沌集合的存在是否意味着混沌三元组的存在？
• RQ2 动力系统是否可能在不包含任何混沌三元组的情况下仍为分布混沌？
• RQ3 是否存在一个系统，其为极端分布2-混沌但非3-混沌？
• RQ4 在n元组的意义下，分布混沌与经典Li-Yorke混沌之间存在何种关系？
• RQ5 能否构造一个Mycielski集合，使其具有不可数极端分布混沌性但无混沌三元组？

主要发现

• 该论文构造了一个不变的Mycielski集合X ⊂ Σ₂，其包含不可数极端分布2-混沌集合，但不包含3-混沌三元组。
• 集合D = {xₐ : α ∈ B} 被证明为极端分布2-混沌，其中对所有δ < 1有Φᵤᵥ(δ) = 0，且Φ*ᵤᵥ ≡ 1。
• 系统(X, σ)中不存在混沌三元组，因为对任意三元组(xₐ, xᵦ, xᵧ)，有lim infₖ→∞ min{d(σᵏxₐ, σᵏxᵦ), d(σᵏxₐ, σᵏxᵧ), d(σᵏxᵧ, σᵏxᵦ)} = 0，违反了n-混沌三元组的条件(2)。
• 集合X是可数个Cantor集的并集，因此是Mycielski集合，且在移位映射σ下保持不变。
• 该构造依赖于：对α, β ∈ B，序列α与β无限次分歧，从而确保轨道间存在持续分离。
• 结果表明，即使在不可数设定下，极端分布混沌（分布混沌）也不蕴含经典Li-Yorke混沌（对三元组而言）。