[论文解读] Scrambling in nearly thermalized states at large central charge

Kristan Jensen|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2019

Atomic and Molecular Physics被引用 12

一句话总结

本文研究了在大中心电荷下，于空间无穷远处插入重算符的二维共形场论中的量子混沌，这些重算符在有效温度 $ T_{\rm eff} \leq T $ 下生成一个近乎热平衡的稳态。通过一种类似施瓦茨函数的有效理论及其引力对偶，推导出次最大的李雅普诺夫指数 $ \lambda_L = 2\pi T_{\rm eff} $，表明重算符虽抑制了纠缠增长，但仍保留了混沌系统特有的极点跳过现象。

ABSTRACT

We study $2d$ conformal field theory (CFT) at large central charge $c$ and finite temperature $T$ with heavy operators inserted at spatial infinity. The heavy operators produce a nearly thermalized steady state at an effective temperature $T_{ m eff}\leq T$. Under some assumptions, we find an effective Schwarzian-like description of these states and, when they exist, their gravity duals. We use this description to compute the Lyapunov exponents for light operators to be $2πT_{ m eff}$, so that scrambling is suppressed by the heavy insertions.

研究动机与目标

• 理解大中心电荷 $ c $ 下，二维CFT中在空间无穷远处插入重算符时的近似热平衡态中的量子混沌。
• 为这类非平衡稳态构建一个有效场论描述，推广施瓦茨函数模型。
• 计算轻算符的李雅普诺夫指数，并判断其是否达到混沌界限。
• 识别这些态的引力对偶，并在应力张量两点函数中验证极点跳过现象。
• 表明在这些系统中，有效温度 $ T_{\rm eff} $ 而非原始温度 $ T $ 决定了李雅普诺夫指数。

提出的方法

• 为大 $ c $ 下的二维CFT构建有效场论（EFT），其中非线性响应主要由单位算符及其维拉索罗继承算符主导。
• 使用与应力张量流 $ \mathcal{J} $ 线性耦合的双局域算符 $ \mathcal{B}_{12} $（参数为 $ \varepsilon $）来描述算符动力学。
• 通过六点函数计算OTOC，近似使用单位算符块，并包含来自单个应力张量交换的 $ 1/c $ 修正。
• 将 $ \varepsilon $ 传播子进行傅里叶变换至配置空间，并解析延拓至欧氏时间，得到包含超几何函数的共形块。
• 通过 $ \sqrt{c} $ 缩放双局域耦合，以处理 $ \Delta = O(\sqrt{c}) $ 的算符，从而实现应力张量交换的指数化。
• 推导出引力对偶为带有缺陷的两翼BTZ黑洞膜，其源于带有锥形奇点的全局AdS₃的双重Wick旋转。

实验结果

研究问题

• RQ1 在大中心电荷的二维CFT中，空间无穷远处的重算符如何改变李雅普诺夫指数？
• RQ2 能否构建一个有效场论，以捕捉近似热平衡稳态中的非线性响应与纠缠动力学？
• RQ3 应力张量两点函数中的极点跳过现象是否在这些近似热态中依然存在？
• RQ4 此类近似热稳态的引力对偶是什么？其与有效场论有何关系？
• RQ5 由重算符诱导的有效温度 $ T_{\rm eff} $ 如何影响纠缠时间与李雅普诺夫增长？

主要发现

• 轻算符的李雅普诺夫指数为 $ \lambda_L = \frac{2\pi}{\beta_{\rm eff}} = \frac{2\pi}{\beta}\sqrt{1 - \frac{24h}{c}} $，相对于原始温度 $ T = 1/\beta $ 为次最大，但相对于 $ T_{\rm eff} $ 为最大。
• OTOC表现出指数增长 $ \sim e^{\frac{2\pi\alpha}{\beta}(t+y)} $，确认李雅普诺夫指数 $ \lambda_L = 2\pi T_{\rm eff} $，且蝴蝶速度等于光速。
• 四点函数的修正为重参数化的全局共形块 $ \sim u^2 \, _2F_1(2,2;4;u) $，与Anous和Sonner（2019）的六点块结果一致。
• 对于 $ \Delta = O(\sqrt{c}) $ 的算符，应力张量交换实现指数化，导致相同的李雅普诺夫指数 $ \lambda_L = 2\pi T_{\rm eff} $，重插入的唯一效应是将温度重标度为 $ T_{\rm eff} $。
• 在退格林应力张量两点函数中，极点跳过现象得以保留，极点位于频率 $ \omega = i\lambda_L $，证实了有效理论中的混沌动力学。
• 引力对偶为带有缺陷的两翼BTZ黑洞膜，其源于带有锥形奇点的全局AdS₃的双重Wick旋转。