[论文解读] Scrambling speed of random quantum circuits

Winton Brown, Omar Fawzi|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 30被引用 53

一句话总结

该论文证明，深度为 $O(\log^3 n)$ 的随机量子电路可实现强杂化（strong scrambling），即令大多数子系统接近于最大混合态，并可用于构建编码率恒定、最小距离线性增长的量子纠错码。该工作解决了黑洞物理中关于快速杂化的猜想，表明此类杂化可在对数深度内实现，显著快于此前的界限。

ABSTRACT

Random transformations are typically good at "scrambling" information. Specifically, in the quantum setting, scrambling usually refers to the process of mapping most initial pure product states under a unitary transformation to states which are macroscopically entangled, in the sense of being close to completely mixed on most subsystems containing a fraction fn of all n particles for some constant f. While the term scrambling is used in the context of the black hole information paradox, scrambling is related to problems involving decoupling in general, and to the question of how large isolated many-body systems reach local thermal equilibrium under their own unitary dynamics. Here, we study the speed at which various notions of scrambling/decoupling occur in a simplified but natural model of random two-particle interactions: random quantum circuits. For a circuit representing the dynamics generated by a local Hamiltonian, the depth of the circuit corresponds to time. Thus, we consider the depth of these circuits and we are typically interested in what can be done in a depth that is sublinear or even logarithmic in the size of the system. We resolve an outstanding conjecture raised in the context of the black hole information paradox with respect to the depth at which a typical quantum circuit generates an entanglement assisted encoding against the erasure channel. In addition, we prove that typical quantum circuits of poly(log n) depth satisfy a stronger notion of scrambling and can be used to encode alpha n qubits into n qubits so that up to beta n errors can be corrected, for some constants alpha, beta > 0.

研究动机与目标

• 通过确定随机量子电路实现信息杂化的最小深度，解决量子引力中的快速杂化猜想。
• 证明深度为 $O(\log^3 n)$ 的随机量子电路满足强杂化概念，使子系统接近于最大混合态。
• 展示此类电路可用于构建编码率恒定、最小距离线性增长的稳定子码。
• 通过证明其比标准近似二阶设计更快地收敛至去耦合行为，改进了先前的去耦合结果。
• 分析自然局部量子动力学模型中去耦合与杂化的速度，相关于热化与黑洞物理。

提出的方法

• 在二维晶格上使用局部两比特门构建随机量子电路模型，深度对应动力学演化中的时间。
• 通过随机游走的概率分析与集中不等式，界定低权重泡利算符在电路演化后仍保持显著性的概率。
• 应用近似酉设计与去耦合理论的结果，证明深度为 $O(\log^3 n)$ 的电路可实现强去耦合。
• 采用耦合论证法与指示变量和的尾部概率界，控制某一过程保持在阈值以下的次数，确保快速混合。
• 利用偏置随机游走的引理，界定命中边界的概率，以模拟子系统中信息的衰减。
• 结合上述工具，证明典型深度为 $O(\log^3 n)$ 的电路可对任意常数 $f$ 的大小为 $fn$ 的所有子系统实现杂化。

实验结果

研究问题

• RQ1 深度为次线性量级的随机量子电路能否实现强杂化，使得所有大小为 $fn$ 的子系统接近于最大混合态？
• RQ2 随机量子电路实现量子通信与纠错中去耦合的最小深度为何？
• RQ3 在自然的局部量子电路模型下，是否成立快速杂化猜想（即 $O(\log n)$ 深度内实现杂化）？
• RQ4 此类电路能否用于构建编码率恒定、最小距离线性增长的量子纠错码？
• RQ5 与标准近似二阶设计相比，杂化的速度如何？

主要发现

• 深度为 $O(\log^3 n)$ 的随机量子电路可实现强杂化，使所有大小不超过 $fn$ 的子系统对任意常数 $f$ 接近于最大混合态。
• 相同电路可作为去耦合酉操作，其速度显著快于标准近似二阶设计（后者需 $O(n^2)$ 大小）。
• 此类电路可实现稳定子码的构造，其编码率 $\alpha > 0$ 恒定，最小距离为 $\beta n$（$\beta > 0$），且仅需 $O(\log^3 n)$ 深度的编码电路。
• 论文证明深度为 $O\left(\log n\right)$ 的电路可实现与黑洞信息悖论相关的较弱杂化概念。
• 通过在自然局部电路模型下证明信息可在 $O(\log n)$ 深度内实现杂化，解决了黑洞物理中的一个猜想。
• 分析表明，电路演化过程中低权重泡利算符的衰减呈指数快速，证实了信息的有效传播。