[论文解读] Scrambling without chaos in RCFT

Pawe l Caputa, Tokiro Numasawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用 26

一句话总结

本文推导出理性共形场论（RCFTs）中时间演化后期的反序有序关联函数（OTOCs）的通用公式，表明其趋近于由模 S 矩阵元素决定的常数——具体而言，即任意Anyon的单色性标量。在 $SU(N)_k$ WZW 模型的大中心电荷极限下，虽然纯度呈对数增长（表明纠缠杂乱化），但 OTOC 仍保持非零且恒定，证明即使在类似全息的区域中，混沌与杂乱化仍是不同的概念。

ABSTRACT

In this paper we investigate measures of chaos and entanglement in rational conformal field theories in 1+1 dimensions. First, we derive a universal formula for the late time value of the out-of-time-ordered correlators for this class of theories. Our universal result can be expressed as a particular combination of the modular S-matrix elements known as the anyon monodromy scalar. Next, in the explicit setup of a $SU(N)_k$ Wess-Zumino-Witten model, we compare the late time behavior of the out-of-time-ordered correlators and the purity. Interestingly, in the large-c limit, the purity grows logarithmically as in holographic theories; in contrast, the out-of-time-ordered correlators remain, in general, non-vanishing.

研究动机与目标

• 推导出理性共形场论（RCFTs）中反序有序关联函数（OTOCs）的晚期时间值的通用公式。
• 研究可积二维共形场论（CFTs）中量子混沌（通过 OTOCs 测量）与纠缠杂乱化（通过纯度测量）之间的关系。
• 分析 $SU(N)_k$ 维斯-祖米诺-威滕（WZW）模型在大中心电荷极限下的 OTOC 与纯度行为，该模型类似于全息 CFT。
• 澄清在全息对偶的背景下，纠缠杂乱化是否意味着 RCFT 中的量子混沌。
• 证明 OTOC 在大 $c$ 极限下保持非零，表明即使在对数纯度增长的情况下，系统仍表现出可积性。

提出的方法

• 利用共形场论技术和模不变性推导 RCFT 中的晚期 OTOC，将结果表示为 $ C^{eta}_{ij}(t) \to \frac{1}{d_i d_j} \frac{S^{*}_{ij}}{S_{00}} $，其中 $ S_{ij} $ 为模 S 矩阵。
• 将推导出的公式应用于 $SU(N)_k$ WZW 模型，该模型是具有已知模 S 矩阵和量子维数的非平凡可积二维 CFT。
• 通过四点函数和共形块分解计算局部算符激发后的第二 Rényi 熵（纯度）。
• 通过 't Hooft 极限 $ \lambda = N/k $ 固定，利用四点函数的渐近展开分析大-$c$ 极限。
• 使用强耦合近似与费米子算符计算 OTOC 与纯度，分离出主导的对数行为。
• 比较晚期 OTOC（常数）与纯度（对数增长），以区分纠缠杂乱化与量子混沌。

实验结果

研究问题

• RQ1 理性共形场论（RCFTs）中反序有序关联函数（OTOC）的通用晚期时间值是什么？
• RQ2 RCFT 中的 OTOC 与模 S 矩阵有何关系？能否用任意Anyon的单色性表示？
• RQ3 在 $SU(N)_k$ WZW 模型的大中心电荷极限下，纯度是否如全息 CFT 中那样表现出对数增长？
• RQ4 在大-$c$ 极限下，若 OTOC 的晚期值非零，是否意味着量子混沌，还是可在可积、非混沌系统中持续存在？
• RQ5 OTOC 与纯度在多大程度上分别衡量了 RCFT 中动力学的不同方面——即杂乱化与混沌？

主要发现

• 任何 RCFT 中的晚期 OTOC 由 $ C^{eta}_{ij}(t) \to \frac{1}{d_i d_j} \frac{S^{*}_{ij}}{S_{00}} $ 统一给出，其值取决于模 S 矩阵与量子维数。
• 在 $SU(N)_k$ WZW 模型中，OTOC 在晚期时间趋近于非零常数，表明尽管中心电荷很大，混沌仍不存在。
• 在大-$c$ 极限下，第二 Rényi 熵（纯度）随时间对数增长，$ \Delta S^{(2)}_A(t) \simeq 2h \log(2t/\epsilon) - \log(2) $，与全息杂乱化行为相似。
• 纯度的对数增长源于四点函数中忽略了 $ 1/\sqrt{c} $ 修正，否则将恢复有限的量子维数。
• 在强耦合极限下，OTOC 在晚期时间保持为 1，与算符的量子数无关，证实其作为可积性探测器的鲁棒性。
• 即使纯度呈对数增长，OTOC 仍保持非零，表明在 RCFT 中，纠缠杂乱化并不意味着量子混沌。