[论文解读] Search problems in algebraic complexity, GCT, and hardness of generator for invariant rings

Ankit Garg, Christian Ikenmeyer+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2019

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 22被引用 4

一句话总结

该论文通过使用超pfaffian构造显式反例，否定了Mulmuley关于SLₙ(ℂ)-表示的不变量环存在多项式大小紧凑编码的猜想。研究证明，计算此类生成元是VNP-完全的，这意味着在标准复杂性假设下，若存在多项式大小编码，将导致VP与VNP的坍缩。

ABSTRACT

We consider the problem of computing succinct encodings of lists of generators for invariant rings for group actions. Mulmuley conjectured that there are always polynomial sized such encodings for invariant rings of $\SL_n(\C)$-representations. We provide simple examples that disprove this conjecture (under standard complexity assumptions). We develop a general framework, denoted \emph{algebraic circuit search problems}, that captures many important problems in algebraic complexity and computational invariant theory. This framework encompasses various proof systems in proof complexity and some of the central problems in invariant theory as exposed by the Geometric Complexity Theory (GCT) program, including the aforementioned problem of computing succinct encodings for generators for invariant rings.

研究动机与目标

• 研究SLₙ(ℂ)-表示下不变量环生成元是否存在多项式大小紧凑编码。
• 挑战几何复杂性理论（GCT）中Mulmuley的猜想，即此类编码始终存在。
• 建立代数电路搜索问题、不变量理论与VP和VNP等基础复杂性类之间的联系。
• 证明计算某些不变量环的生成元在复杂性上等价于求解VNP-完全问题。
• 提供一个通用框架——代数电路搜索问题——以统一代数复杂性与计算不变量理论中的问题。

提出的方法

• 引入代数电路搜索问题的形式化框架，以统一代数复杂性与不变量理论中的问题。
• 使用超pfaffian多项式Pfₖ,ₙ作为SL₂ₖₙ(ℂ)在⊗²ᵏℂ²ᵏⁿ上作用下的关键不变量。
• 通过从张量积到永久多项式的投影，证明当k为偶数且k ≥ 2时，Pfₖ,ₙ是VNP-完全的。
• 构造一个张量p的线性参数化，使得⟨v, p⊗ⁿ⟩等于一个非零常数倍的永久多项式。
• 证明任何不变量环生成元的多项式大小紧凑编码都将导出Pfₖ,ₙ的多项式大小电路。
• 应用Pfₖ,ₙ的VNP-完全性，表明此类编码将导致VP = VNP，与标准复杂性假设矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个SLₙ(ℂ)-表示的不变量环是否都如Mulmuley所猜想的那样，存在多项式大小紧凑编码？
• RQ2 考虑到超pfaffian多项式Pfₖ,ₙ在生成不变量中的作用，它能否由多项式大小代数电路计算？
• RQ3 计算不变量环生成元的问题在复杂性上是否等价于VNP-完全问题？
• RQ4 能否从SL₂ₖₙ(ℂ)作用下的张量不变量中投影出永久多项式？这对电路复杂性有何含义？
• RQ5 对不变量的多项式大小编码对VP与VNP问题有何影响？

主要发现

• 该论文构造了Mulmuley猜想的显式反例，表明并非所有SLₙ(ℂ)-不变量环都存在多项式大小紧凑编码。
• 当k为偶数且k ≥ 2时，超pfaffian Pfₖ,ₙ是VNP-完全的，确立了其高度的计算复杂性。
• 在经线性参数化的张量p上对Pfₖ,ₙ的求值，等于一个非零标量倍的d×d永久多项式，证明了从Pfₖ,ₙ到Perₙ的投影。
• 在SL₂ₖₙ(ℂ)作用于⊗²ᵏℂ²ᵏⁿ时，同调不变量空间在次数n下为1维，且由Pfₖ,ₙ张成。
• 任何不变量环生成元的多项式大小紧凑编码都将意味着Pfₖ,ₙ存在多项式大小电路，从而导致VP与VNP的坍缩。
• 因此，在标准复杂性假设（VP ≠ VNP）下，这些不变量环不存在此类多项式大小编码。