[论文解读] Search-to-Decision Reductions for Lattice Problems with Approximation Factors (Slightly) Greater Than One

Noah Stephens-Davidowitz|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2015

Cryptography and Data Security参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文首次实现了对近似因子略大于1的格问题的维度保持型搜索-判定归约，具体将 γ^{O(n/log n)}-SVP 归约为 γ-GapSVP，将 γ^{O(n)}-CVP 归约为 γ-GapCVP，其中 γ ≤ 1 + O(log n / n)。该方法通过迭代的格基变换与预言机查询，逐步缩小最短向量，实现了优于先前工作的更紧的近似因子。

ABSTRACT

We show the first dimension-preserving search-to-decision reductions for approximate SVP and CVP. In particular, for any $γ\leq 1 + O(\log n/n)$, we obtain an efficient dimension-preserving reduction from $γ^{O(n/\log n)}$-SVP to $γ$-GapSVP and an efficient dimension-preserving reduction from $γ^{O(n)}$-CVP to $γ$-GapCVP. These results generalize the known equivalences of the search and decision versions of these problems in the exact case when $γ= 1$. For SVP, we actually obtain something slightly stronger than a search-to-decision reduction---we reduce $γ^{O(n/\log n)}$-SVP to $γ$-unique SVP, a potentially easier problem than $γ$-GapSVP.

研究动机与目标

• 为近似因子略大于1的格问题，填补搜索版本与判定版本之间关系的理解空白。
• 开发从近似 SVP 与 CVP 到其判定对应问题（GapSVP 与 GapCVP）的高效、维度保持型归约。
• 在 [Che13, HP14] 的先前归约基础上，通过在搜索问题中实现更优的近似参数，实现改进。
• 形式化一个归约框架，以证明在近似范围内搜索问题与判定问题的等价性。

提出的方法

• 利用基变换构造一系列格 L^{(i)}，控制其指标与最短向量长度之比。
• 对每个格 L^{(i)}，在 p+1 个相关格 L_{i,j} 上查询 γ-GapSVP 预言机，以识别最短最短向量的格。
• 利用预言机结果更新基系数 a₁^{(i)}, a₂^{(i)}, a₃^{(i)}，使得 λ₁(L^{(i+1)}) ≤ γ·λ₁(L^{(i)})。
• 在派生子格 L′ 上应用递归归约步骤，根据基系数的 p-进赋值，选择省略 b_{n-1} 或 b_n。
• 在 ℓ = O(n / log p) 次迭代后设置停止条件，以确保最终输出向量与真实最短向量的距离在 γ^{O(n/log n)} 之内。
• 基于引理 2.6 的几何论证，证明 L^{(ℓ)} 中的任意短向量必须位于约化子格 L′ 中，从而保证递归调用的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当近似因子 γ > 1 时，能否为 SVP 与 CVP 构建搜索-判定归约，特别是当 γ 接近 1 时？
• RQ2 在实现子指数级近似因子的搜索问题时，是否可能在归约中保持维度不变？
• RQ3 在近似范围内，搜索问题的近似参数与判定问题的近似参数之间有何关系？
• RQ4 该归约框架能否超越精确情形（γ=1）进行推广，从而获得优于先前工作的更紧界？
• RQ5 在这些归约中，预言机查询次数与近似因子之间的最优权衡是什么？

主要发现

• 本文实现了从 γ^{O(n/log n)}-SVP 到 γ-GapSVP 的维度保持型归约，适用于任意 γ ≤ 1 + O(log n / n)，优于先前工作。
• 在相同 γ 边界下，提供了从 γ^{O(n)}-CVP 到 γ-GapCVP 的类似归约，确立了近似范围内的新等价关系。
• SVP 的归约实际上更强，将 γ^{O(n/log n)}-SVP 归约为 γ-唯一 SVP，这一变体可能比 γ-GapSVP 更容易处理。
• 最终输出的搜索问题近似因子为 γ^{O(n²/log p)}，当 p 作为 n 的函数选取时，可简化为 γ^{O(n/log n)}。
• 通过基于引理 2.6 的几何论证，证明了中间格 L^{(ℓ)} 中的所有短向量均包含于递归子格 L′ 中，从而验证了归约框架的正确性。
• 作者承认 Cheng [Che13] 与 Hu-Pan [HP14] 的前期工作，但强调其结果在参数上优于这些早期归约。