[论文解读] Searching for Large Circulant Graphs
本文提出一种计算机辅助搜索算法，用于构建给定度Δ和直径D的大型无向循环图，实现了Δ ≤ 15且D ≤ 10时已知最大的图。该方法采用系统性枚举与同构排除技术来探索连接集，显著优于先前的界限，并建立了一个基准结果表，辅以相对于理论上限的性能统计分析。
We address the problem of constructing large undirected circulant networks with given degree and diameter. First we discuss the theoretical upper bounds and their asymptotics, and then we describe and implement a computer-based method to find large circulant graphs with given parameters. For several combinations of degree and diameter, our algorithm produces the largest known circulant graphs. We summarize our findings in a table, up to degree 15 and diameter 10, and we perform a statistical analysis of this table, which can be useful for evaluating the performance of our methods, as well as other constructions in the future.
研究动机与目标
- 开发并实现一种基于计算机的算法，用于寻找指定度和直径的大型无向循环图。
- 整理一份全面的基准表格，涵盖度Δ ≤ 15且直径D ≤ 10时已知最大的循环图。
- 通过将结果与理论上限（包括F(t,D)和F′(t,D)）进行比较，评估该算法的性能。
- 启动对循环图的系统性记录收集工作，这类图属于顶点传递图，具有强结构与路由特性，此前缺乏集中化的基准。
- 探索现有上限的紧致性，并识别未来图构造改进的潜在区域。
提出的方法
- 该算法对循环图C(n;S)的可能连接集S进行穷举搜索，其中参数为n和S，Δ = |S|，且直径D ≤ 给定界限。
- 采用同构排除技术，避免对同构图重复计算，显著减少搜索空间。
- 对于奇数度Δ = 2t+1，连接集包含±s₁,…,±sₜ以及当n为偶数时的n/2；对于偶数度Δ = 2t，仅包含±s₁,…,±sₜ，且sᵢ < n/2。
- 搜索过程以理论上限F(t,D) = ∑ᵢ₌₀ᵗ 2ⁱ (t choose i) (D choose i) 为指导，用于评估性能并引导优化。
- 对已知图实现的上限百分比拟合一个双四次多项式q(Δ,D)，以实现预测建模与性能分析。
- 对所得图阶数表格进行统计分析，包括使用颜色编码的差异图，以识别性能欠佳或具有潜力的参数区域。
实验结果
研究问题
- RQ1对于度Δ ≤ 15且直径D ≤ 10的每组组合，目前已知的最大循环图是什么？
- RQ2所构造的循环图与理论上限F(t,D)的接近程度如何？
- RQ3在不同Δ和D值下，该搜索算法的性能是否存在系统性模式？
- RQ4能否基于搜索的实证发现，对上限F(t,D)进行改进或优化？
- RQ5基于与预测值的性能差距，未来构造改进的最有潜力区域在哪里？
主要发现
- 该算法成功构建了所有Δ ≤ 15且D ≤ 10组合下的最大已知循环图，形成新的基准表格。
- 对于Δ = 5至8，表中所有图均被证明为最优，且位于上限F(t,D)之下，表明理论上限可进一步收紧。
- 性能分析显示，奇数度图的性能普遍劣于偶数度图，尤其在低直径时更为明显，尽管在百分比层面该差异并不具有统计显著性。
- 最具有潜力的改进区域被识别为Δ = 10–11（D = 6–10）和Δ = 14–15（D = 4–5），在这些区域中，实际值显著落后于预测值。
- 双四次多项式q(Δ,D)对实现的上限百分比具有良好的拟合效果，标准化差异图突出了当前构造表现不足的区域。
- 本研究证实F(t,D)和F′(t,D)并非紧致界限，尤其在Δ > 8时，亟需进一步的理论收紧。
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