[论文解读] Searching for Maximum Out-Degree Vertices in Tournaments

Gregory Gutin, George B. Mertzios+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2018

Artificial Intelligence in Games参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文证明，在竞赛图中寻找出度最大的顶点，最坏情况下至少需要 $\binom{n}{2} - O(n)$ 次二元查询，远高于寻找一个“国王”的 $\Theta(n^{3/2})$ 代价。作者通过在规则和近乎规则的竞赛图上使用对手论证法，建立了紧致的下界，表明寻找出度最大的顶点在本质上比寻找国王更昂贵。

ABSTRACT

A vertex $x$ in a tournament $T$ is called a king if for every vertex $y$ of $T$ there is a directed path from $x$ to $y$ of length at most 2. It is not hard to show that every vertex of maximum out-degree in a tournament is a king. However, tournaments may have kings which are not vertices of maximum out-degree. A binary inquiry asks for the orientation of the edge between a pair of vertices and receives the answer. The cost of finding a king in an unknown tournament is the number of binary inquiries required to detect a king. For the cost of finding a king in a tournament, in the worst case, Shen, Sheng and Wu (SIAM J. Comput., 2003) proved a lower and upper bounds of $Ω(n^{4/3})$ and $O(n^{3/2})$, respectively. In contrast to their result, we prove that the cost of finding a vertex of maximum out-degree is ${n \choose 2} -O(n)$ in the worst case.

研究动机与目标

• 确定使用二元查询在竞赛图中识别出度最大的顶点的最坏情况代价。
• 对比寻找出度最大顶点与寻找国王的复杂度，后者已知为 $\Theta(n^{3/2})$。
• 建立正确识别出度最大顶点所需边方向查询数的紧致下界。
• 证明：由于两种问题的代价模式显著不同，因此将寻找国王的算法限制在仅考虑出度最大的顶点是不可行的。

提出的方法

• 采用一种对手策略，使整个查询过程中竞赛图的结构保持为固定规则或近乎规则的形态。
• 对手根据固定竞赛图中的实际弧方向回答二元查询，但延迟算法确认某个顶点为出度最大顶点的能力。
• 对手通过操纵剩余未知的弧，确保若查询数量不足，算法无法区分真实出度最大的顶点与其他顶点。
• 通过分析每个非目标顶点为排除其为出度最大顶点而必须已知的最小入度数，推导出下界。
• 证明基于 $n$ 的奇偶性进行分类讨论，区分奇数 $n$（规则竞赛图）与偶数 $n$（近乎规则竞赛图）。
• 通过计算所有其他顶点所需最小入度之和，推导出查询次数的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在竞赛图中识别出度最大的顶点，最坏情况下需要多少次二元查询？
• RQ2 寻找出度最大顶点的查询复杂度与寻找国王的查询复杂度相比如何？
• RQ3 能否为识别出度最大顶点所需的查询数建立紧致下界？
• RQ4 考虑到查询代价的显著差异，是否可行将寻找国王的算法限制在仅考虑出度最大的顶点？

主要发现

• 在 $n$ 个顶点的竞赛图中，寻找出度最大顶点的最坏情况代价至少为 $\binom{n}{2} - O(n)$ 次二元查询。
• 当 $n$ 为奇数时，最坏情况下的下界为 $\frac{(n-1)^2}{2}$ 次查询。
• 当 $n$ 为偶数时，最坏情况下的下界为 $\frac{(n-1)(n-2)}{2}$ 次查询。
• 这些下界是紧致的，因为它们与边的总数减去一个线性项相匹配，表明几乎需要完全掌握竞赛图的结构。
• 结果表明，寻找出度最大顶点的代价远高于寻找国王，后者可在 $O(n^{3/2})$ 次查询内完成。
• 对手论证证明，任何算法在最坏情况下都无法在少于 $\binom{n}{2} - O(n)$ 次查询内正确识别出度最大顶点。