[论文解读] Searching for partial Hadamard matrices

Víctor Álvarez, José-Andrés Armario+5 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2012

graph theory and CDMA systems参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文提出了三种算法，通过在 Ito 的 Hadamard 图 $\Delta(4t)$ 的子图 $G_t$ 中搜索大团，来构建大型部分 Hadamard 矩阵。关键贡献在于，最佳启发式算法可生成超过完整 $4t \times 4t$ Hadamard 矩阵一半大小的部分 Hadamard 矩阵，超越了以往的渐近界，尤其是在使用 De Launey 和 Gordon 方法生成的现有部分矩阵作为初始化时表现更优。

ABSTRACT

Three algorithms looking for pretty large partial Hadamard matrices are described. Here "large" means that hopefully about a third of a Hadamard matrix (which is the best asymptotic result known so far, [dLa00]) is achieved. The first one performs some kind of local exhaustive search, and consequently is expensive from the time consuming point of view. The second one comes from the adaptation of the best genetic algorithm known so far searching for cliques in a graph, due to Singh and Gupta [SG06]. The last one consists in another heuristic search, which prioritizes the required processing time better than the final size of the partial Hadamard matrix to be obtained. In all cases, the key idea is characterizing the adjacency properties of vertices in a particular subgraph G_t of Ito's Hadamard Graph Delta (4t) [Ito85], since cliques of order m in G_t can be seen as (m+3)*4t partial Hadamard matrices.

研究动机与目标

• 开发高效算法以构建大型部分 Hadamard 矩阵，这类矩阵在需要正交行但无需完整 Hadamard 矩阵的应用中具有实用价值。
• 通过引入基于启发式和遗传算法的团检测方法，克服穷举搜索在计算上的不可行性。
• 证明可通过基于团的方法在 $G_t$ 中构建深度超过完整 $4t \times 4t$ Hadamard 矩阵一半大小的部分 Hadamard 矩阵，从而超越已知的渐近界。

提出的方法

• 这些算法基于将寻找部分 Hadamard 矩阵建模为在 Ito 的 Hadamard 图 $\Delta(4t)$ 的子图 $G_t$ 中寻找团的问题，其中顶点代表满足特定正交性和分布约束的 $\{+1,-1\}$-向量。
• 第一种方法在 $G_t$ 中对团执行局部穷举搜索，确保正确性但计算成本极高。
• 第二种方法改编了 Singh 和 Gupta 的最大团问题遗传算法，但由于依赖穷举子程序，计算成本依然很高。
• 第三种方法，即算法 4.3，是一种启发式方法，优先考虑运行效率而非团的大小，从而实现对更大团的更快探索。
• 通过迭代添加保持两两正交性的顶点来执行团的扩展，利用 $G_t$ 的结构来限制搜索空间。
• 算法以 De Launey (2000) 和 De Launey-Gordon (2001) 的部分 Hadamard 矩阵作为初始化，然后将其扩展为更深的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 启发式和遗传算法能否在构建大型部分 Hadamard 矩阵时优于穷举搜索？
• RQ2 是否能够通过 $G_t$ 中基于团的方法构建深度超过完整 $4t \times 4t$ Hadamard 矩阵一半大小的部分 Hadamard 矩阵？
• RQ3 所提出的启发式算法（算法 4.3）在扩展先前构造的部分 Hadamard 矩阵方面的有效性如何？
• RQ4 能否利用 $G_t$ 的结构设计出避免穷举搜索的高效团查找算法？
• RQ5 初始团的质量对所构建部分 Hadamard 矩阵最终深度的影响如何？

主要发现

• 算法 4.3 将 $G_4$ 中的 5 个顶点团成功扩展为 12 个顶点团，生成了 $15 \times 16$ 的部分 Hadamard 矩阵，其大小超过完整 $16 \times 16$ Hadamard 矩阵的一半。
• 对于 $t=6$，该算法在 1 分 7 秒内将 9 个顶点团扩展为 15 个顶点团，生成了 $18 \times 24$ 的部分 Hadamard 矩阵。
• 在 $t=8$ 时，算法将 13 个顶点团扩展为 17 个顶点团，得到 $20 \times 32$ 的部分 Hadamard 矩阵，再次突破一半大小的阈值。
• 对于 $t=7$，未能实现任何扩展，表明输入团已是极大团，暗示某些初始配置在可扩展性方面存在潜在限制。
• 结果表明，当以 De Launey (2000) 和 De Launey-Gordon (2001) 的高质量部分矩阵作为初始化时，启发式算法可生成深度大于 $2t$ 的部分 Hadamard 矩阵，即超过 $4t \times 4t$ 矩阵大小的一半。
• cocyclic 框架被证明具有内在局限性，因为来自 cocyclic 矩阵的部分 Hadamard 矩阵无法超过原矩阵大小的一半，这是由于行配对约束所致。