[论文解读] Searching on Trees with Noisy Memory.

Lucas Boczkowski, Amos Korman+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2016

Optimization and Search Problems被引用 5

一句话总结

本文研究在具有噪声记忆的树上进行搜索的问题，其中节点提供指向邻居的指引指针以引导寻找隐藏宝藏。研究识别出 $1/\sqrt{\Delta}$ 为关键噪声阈值：当噪声水平低于该值时，可实现高效的搜索，其移动复杂度为 $O(d\sqrt{\Delta})$，查询复杂度为 $O(\sqrt{\Delta}\log \Delta \log^2 n)$；而当噪声水平高于该值时，所有算法的复杂度在深度 $d$ 上均为指数级增长。

ABSTRACT

We consider a search problem on trees using unreliable guiding instructions. Specifically, an agent starts a search at the root of a tree aiming to find a treasure hidden at one of the nodes by an adversary. Each visited node holds information, called advice, regarding the most promising neighbor to continue the search. However, the memory holding this information may be unreliable. Modeling this scenario, we focus on a probabilistic setting. That is, the advice at a node is a pointer to one of its neighbors. With probability $q$ each node is faulty, independently of other nodes, in which case its advice points at an arbitrary neighbor, chosen u.a.r. Otherwise, the node is sound and necessarily points at the correct neighbor. Crucially, the advice is permanent, in the sense that querying a node several times would yield the same answer. We evaluate the agent's efficiency by two measures: The move complexity denotes the expected number of edge traversals, and the query complexity denotes the expected number of queries. Let $\Delta$ denote the maximal degree. Roughly speaking, the main message of this paper is that in order to obtain efficient search, $1/\sqrt{\Delta}$ is a threshold for the noise parameter $q$. Essentially, we prove that above the threshold, every search algorithm has query complexity (and move complexity) which is both exponential in the depth $d$ of the treasure and polynomial in the number of nodes $n$. Conversely, below the threshold, there exists an algorithm with move complexity $O(d\sqrt{\Delta})$, and an algorithm with query complexity $O(\sqrt{\Delta}\log \Delta \log^2 n)$. Moreover, for the case of regular trees, we obtain an algorithm with query complexity $O(\sqrt{\Delta}\log n\log\log n)$. The move complexity bound is tight below the threshold and the query complexity bounds are not far from the lower bound of $\Omega(\sqrt{\Delta}\log_\Delta n)$.

研究动机与目标

• 建模并分析当节点指引可能因噪声而受损时在树上进行搜索的问题。
• 理解不可靠记忆（建模为具有随机指针的故障节点）对搜索效率的影响。
• 确定区分高效与低效搜索算法的噪声水平阈值 $q$。
• 设计在噪声阈值以下可实现近乎最优查询与移动复杂度的算法。
• 在概率故障模型下，建立移动与查询复杂度的紧致复杂度界。

提出的方法

• 将树搜索建模为一种过程：每个节点向其邻居提供一个指针，以概率 $q$ 该指针为均匀随机（故障），否则为正确（可靠）。
• 假设指引是持久的，因此重复查询会返回相同结果，以建模持久性内存错误。
• 使用概率分析来评估边遍历次数（移动复杂度）和节点查询次数（查询复杂度）的期望值。
• 设计一种利用正则树结构的搜索算法，将查询复杂度降低至 $O(\sqrt{\Delta}\log n\log\log n)$。
• 证明下界，表明所提出的查询复杂度与最优值仅相差一个对数因子。
• 应用集中不等式与随机游走分析，以在噪声引导下界定期望搜索时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 决定树上高效搜索是否可能的关键噪声阈值 $q$ 是什么？
• RQ2 最大度数 $\Delta$ 如何影响在噪声记忆下的搜索复杂度？
• RQ3 当 $q < 1/\sqrt{\Delta}$ 时，是否存在算法可实现次指数级的查询与移动复杂度？
• RQ4 在存在噪声指引的情况下，移动复杂度与查询复杂度之间最优权衡是什么？
• RQ5 复杂度界如何随宝藏深度 $d$ 与节点数 $n$ 变化？

主要发现

• 当 $q > 1/\sqrt{\Delta}$ 时，所有搜索算法的移动与查询复杂度在宝藏深度 $d$ 上均为指数级增长。
• 当 $q < 1/\sqrt{\Delta}$ 时，存在一种移动复杂度为 $O(d\sqrt{\Delta})$ 的算法，且该界是紧致的。
• 在相同条件下，存在一种查询复杂度为 $O(\sqrt{\Delta}\log \Delta \log^2 n)$ 的算法，其接近下界 $\Omega(\sqrt{\Delta}\log_\Delta n)$。
• 在正则树的特殊情况下，查询复杂度可进一步降低至 $O(\sqrt{\Delta}\log n\log\log n)$。
• 阈值 $1/\sqrt{\Delta}$ 将高效搜索与本质上低效的搜索区分开来。
• 研究结果表明，为在 $n$ 与 $d$ 上实现多项式复杂度，噪声水平 $q$ 必须低于 $1/\sqrt{\Delta}$。