[论文解读] Searching, Sorting, and Cake Cutting in Rounds

Simina Brânzei, Dimitris Paparas+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2020

Optimization and Search Problems被引用 1

一句话总结

本文研究了在轮次模型下的搜索与排序问题的查询复杂度，揭示了在期望代价设定下，随机化与分布式查询复杂度之间存在显著差距。研究发现，对于成功概率为 p 的无序搜索，随机算法在最坏输入上的期望查询复杂度为 np((k+1)/(2k)) ± O(1)，而确定性算法在最坏输入分布上的期望查询复杂度为 np(1−(k−1)/(2kp)) ± O(1)，该比值在 n→∞ 时收敛于 2−p，且加法差距随 n 线性增长。

ABSTRACT

We study searching and sorting in rounds motivated by a fair division question: given a cake cutting problem with $n$ players, compute a fair allocation in at most $k$ rounds of interaction with the players. Rounds interpolate between the simultaneous and the fully adaptive settings, also capturing parallel complexity. We find that proportional cake cutting in rounds is equivalent to sorting with rank queries in rounds. We design a protocol for proportional cake cutting in rounds, while lower bounds for sorting in rounds with rank queries were given by Alon and Azar. Inspired by the rank query model, we then consider two basic search problems: ordered and unordered search. In unordered search, we get an array $\vec{x}=(x_1, \ldots, x_n)$ and an element $z$ promised to be in $\vec{x}$. We have access to an oracle that receives queries of the form "Is $z$ at location $i$?" and answers "Yes" or "No". The goal is to find the location of $z$ with success probability at least $p$ in at most $k$ rounds of interaction with the oracle. We show the expected query complexity of randomized algorithms on a worst case input is $np\bigl(\frac{k+1}{2k}\bigr) \pm O(1)$, while that of deterministic algorithms on a worst case input distribution is $np \bigl(1 - \frac{k-1}{2k}p \bigr) \pm O(1)$. These bounds apply even to fully adaptive unordered search, where the ratio between the two complexities converges to $2-p$ as the size of the array grows. In ordered search, we get sorted array $\vec{x}=(x_1, \ldots, x_n)$ and element $z$ promised to be in $\vec{x}$. We have access to an oracle that gets comparison queries. Here we find that the expected query complexity of randomized algorithms on a worst case input and deterministic algorithms on a worst case input distribution is essentially the same: $p k \cdot n^{\frac{1}{k}} \pm O(1+pk)$.

研究动机与目标

• 分析轮次交互模型下搜索与排序问题的期望查询复杂度。
• 识别并量化自然搜索问题中随机化与分布式查询复杂度之间的显著差距。
• 将查询复杂度结果与一个公平分配问题联系起来：k 轮交互下的比例蛋糕分割问题。
• 为轮次模型下的无序与有序搜索建立紧致的期望查询复杂度界。
• 解决一个开放问题：分布式复杂度是否可被随机化复杂度的常数倍所界定。

提出的方法

• 将搜索与排序建模为带有预言机响应比较或相等结果的轮次交互问题。
• 为无序搜索引入一种排名查询模型，其中预言机对关于元素 z 位置的查询回答“相等”或“不相等”。
• 使用 Yao 的最小最大原理与分布分析，比较最坏输入与最坏输入分布下随机算法与确定性算法的性能。
• 应用不等式如伯努利不等式与加权 AM-GM 不等式，推导查询复杂度的下界。
• 将 k 轮内的比例蛋糕分割问题约化为带排名查询的排序问题，建立等价性。
• 采用递归结构与归纳法证明，推导出查询复杂度的紧致渐近界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在期望代价设定下，是否存在随机化与分布式查询复杂度之间的可证明巨大差距？
• RQ2 能否为 k 轮内无序搜索的随机化与确定性算法分别建立紧致的查询复杂度界？
• RQ3 轮次中的搜索查询复杂度如何与蛋糕分割等公平分配问题相关联？
• RQ4 当 n→∞ 时，随机化与分布式复杂度的比值与加法差距的渐近行为如何？
• RQ5 分布式复杂度是否可被随机化复杂度的常数倍所界定？

主要发现

• 对于成功概率 p ∈(0,1) 的无序搜索，随机算法在最坏输入上的期望查询复杂度为 np((k+1)/(2k)) ± O(1)。
• 对于最坏输入分布上的确定性算法，期望查询复杂度为 np(1−(k−1)/(2kp)) ± O(1)。
• 分布式复杂度与随机化复杂度的比值在 n→∞ 时收敛于 2−p，且对所有 p ∈(0,1) 严格大于 1。
• 两种复杂度之间的加法差距随 n 线性增长，在 n→∞ 时趋于 ∞。
• 本文证明了 lim_{n→∞} Dδ(un)/Rδ(un) = 1+δ 且 lim_{n→∞}(Dδ(un)−Rδ(un)) = ∞，表明存在超常数差距。
• 结果表明，不存在对所有部分函数 f 与 δ>0 都成立的通用常数 c,d，使得 Dδ(f) ≤ c·Rδ(f)+d 成立，且必须满足 c≥2。