[论文解读] Secant Varieties of the Varieties of Reducible Hypersurfaces in ${\mathbb P}^n$

Maria Virginia Catalisano, Anthony V. Geramita+5 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2015

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 39被引用 3

一句话总结

本文提出了一种关于射影空间中可约超曲面族的弦簇维数的猜想公式，通过其与分次代数中弱Lefschetz性质的新型联系。该公式在许多情形下被无条件证明，统一了此前关于Segre嵌入和Fröberg猜想在弦簇方面结果，并验证了其在特殊情形下的正确性。

ABSTRACT

Given the space $V={\mathbb P}^{\binom{d+n-1}{n-1}-1}$ of forms of degree $d$ in $n$ variables, and given an integer $\ell>1$ and a partition $λ$ of $d=d_1+\cdots+d_r$, it is in general an open problem to obtain the dimensions of the $\ell$-secant varieties $σ_\ell ({\mathbb X}_{n-1,λ})$ for the subvariety ${\mathbb X}_{n-1,λ} \subset V$ of hypersurfaces whose defining forms have a factorization into forms of degrees $d_1,\ldots,d_r$. Modifying a method from intersection theory, we relate this problem to the study of the Weak Lefschetz Property for a class of graded algebras, based on which we give a conjectural formula for the dimension of $σ_\ell({\mathbb X}_{n-1,λ})$ for any choice of parameters $n,\ell$ and $λ$. This conjecture gives a unifying framework subsuming all known results. Moreover, we unconditionally prove the formula in many cases, considerably extending previous results, as a consequence of which we verify many special cases of previously posed conjectures for dimensions of secant varieties of Segre varieties. In the special case of a partition with two parts (i.e., $r=2$), we also relate this problem to a conjecture by Fröberg on the Hilbert function of an ideal generated by general forms.

研究动机与目标

• 确定射影空间 $\mathbb{P}^n$ 中可约超曲面族的 $(\ell-1)$-弦簇 $\sigma_\ell(\mathbb{X}_{n-1,\lambda})$ 的维数。
• 解决长期悬而未决的关于可约形式弦簇维数计算的问题，特别是当预期维数未被达到时的情形。
• 建立一个统一框架，涵盖已知的关于Veronese、Segre和Grassmann簇弦簇的结果。
• 将问题与分次代数中的弱Lefschetz性质联系起来，并与由一般形式生成的理想之Hilbert函数的Fröberg猜想关联。
• 在新的参数范围内验证关于Segre嵌入弦簇非缺陷性的猜想。

提出的方法

• 作者使用交集理论，将弦簇维数问题与一类与可约形式相关的分次Artinian代数中的弱Lefschetz性质研究联系起来。
• 他们提出一种方法，通过分析指定次数的一般形式生成的理想结构，将几何问题转化为代数问题。
• 该方法涉及研究这些代数中弱Lefschetz性质的失效，以检测弦簇何时具有缺陷。
• 论文通过利用Hochster与Laksov、Anick以及完全交理论的结果，在多种情形下无条件证明了猜想的维数公式。
• 对于 $r=2$ 的情形（二元形式），该问题与Fröberg关于由一般形式生成的理想之Hilbert函数的猜想相关联。
• 作者通过参数计数和维数界推导出预期维数，并与实际维数比较以检测缺陷性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\mathbb{P}^n$ 中 $\lambda$-可约形式的族 $\mathbb{X}_{n-1,\lambda}$，$(\ell-1)$-弦簇 $\sigma_\ell(\mathbb{X}_{n-1,\lambda})$ 的维数是多少？
• RQ2 在何种情况下 $\sigma_\ell(\mathbb{X}_{n-1,\lambda})$ 具有缺陷，此时其缺陷量是多少？
• RQ3 相关分次代数的弱Lefschetz性质如何决定可约形式弦簇的维数？
• RQ4 该猜想公式在多大程度上统一了关于Segre与Veronese簇弦簇的已知结果？
• RQ5 与Fröberg猜想的联系能否用于证明一般形式Hilbert函数猜想的新情形？

主要发现

• 本文提出了一个关于 $\dim \sigma_\ell(\mathbb{X}_{n-1,\lambda})$ 的猜想公式，统一了所有关于可约形式弦簇的已知结果。
• 该公式在许多情形下被无条件证明，显著扩展了此前关于Segre嵌入弦簇的结果。
• 作者在新的参数范围内验证了关于Segre嵌入弦簇非缺陷性的猜想8.3。
• 对于 $r=2$ 的情形，本文建立了弦簇维数问题与Fröberg关于由一般形式生成的理想之Hilbert函数猜想之间的联系。
• 论文表明，当 $d_2 = \cdots = d_r \gg 0$ 时，$\sigma_\ell(\mathbb{X}_{n-1,\lambda})$ 不具有缺陷，且在此极限下Segre嵌入是平衡的。
• 作者证明了 $\mathbb{X}_{n-1,\lambda}$ 的仿射锥的弦簇不可能具有缺陷，为主要结果提供了关键的技术工具。