[论文解读] Secant varieties to osculating varieties of Veronese embeddings of $\mathbb{P}^n$

Alessandra Bernardi, Maria Virginia Catalisano+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2008

Tensor decomposition and applications参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文提出了一个关于 Veronese 嵌入的切线与挠率曲面的连结曲面的猜想，该猜想与 Alexander-Hirschowitz 定理类似，证明了缺陷性由胖点方案的 Hilbert 函数决定。若该猜想对 $d=3$ 成立，则对所有 $d \geq 3$ 成立，且在 $n \leq 9$ 时得到验证；同时证明了一个关于 $k$-挠率曲面的连结曲面与 $\mathbb{P}^n$ 中 0-维方案的预设之间关系的一般性猜想。主要贡献在于对低 $n$ 情况下这些设定中缺陷连结曲面的完整分类，以及将问题约化至 $d=3$ 的情形。

ABSTRACT

A well known theorem by Alexander-Hirschowitz states that all the higher secant varieties of $V_{n,d}$ (the $d$-uple embedding of $\mathbb{P}^n$) have the expected dimension, with few known exceptions. We study here the same problem for $T_{n,d}$, the tangential variety to $V_{n,d}$, and prove a conjecture, which is the analogous of Alexander-Hirschowitz theorem, for $n\leq 9$. Moreover. we prove that it holds for any $n,d$ if it holds for $d=3$. Then we generalize to the case of $O_{k,n,d}$, the $k$-osculating variety to $V_{n,d}$, proving, for $n=2$, a conjecture that relates the defectivity of $σ_s(O_{k,n,d})$ to the Hilbert function of certain sets of fat points in $\mathbb{P}^n$.

研究动机与目标

• 建立一个关于 $\mathbb{P}^n$ 的 Veronese 嵌入的切线与挠率曲面的连结曲面的猜想，该猜想与 Alexander-Hirschowitz 定理类似。
• 证明若 $σ_s(T_{n,d})$ 的猜想对 $d=3$ 成立，则对所有 $d \geq 3$ 成立，从而将问题约化至 $d=3$ 情形。
• 将分析推广至 $k$-挠率曲面 $O_{k,n,d}$，将其连结曲面与胖点方案的 Hilbert 函数联系起来。
• 利用 COCOA 等计算工具验证 $n \leq 9$ 时的猜想，特别关注关键的 $d=3$ 情形。
• 提出并提供证据支持一个猜想，即 $σ_s(O_{k,n,d})$ 的缺陷性与在一般点处支持、理想介于 $I_P^{k+1}$ 与 $I_P^{k+2}$ 之间的 0-维方案的预设之间存在关联。

提出的方法

• 使用 Horace 微分引理，将 $d \geq 4$ 时连结曲面缺陷性的难题约化为 $d=3$ 的情形。
• 应用对偶系统与 Hilbert 函数技术，将几何缺陷性转化为 0-维方案预设条件的代数条件。
• 采用如下刻画：$σ_s(O_{k,n,d})$ 缺陷当且仅当方案 $Y = Z_1 \cup \cdots \cup Z_s$ 不能对次数为 $d$ 的形式施加独立条件，其中每个 $Z_i$ 在对应点处的理想介于 $I_P^{k+1}$ 与 $I_P^{k+2}$ 之间。
• 使用计算代数（Cocoa）验证 $n \leq 9$ 时的 $d=3$ 情形，确认该猜想在这些情形下成立。
• 应用渐近与组合估计，证明涉及二项式系数与下取整函数的不等式，确保猜想对大 $n$ 与 $d$ 成立。
• 依赖于连结曲面缺陷性与某些方案不能对次数 $d$ 形式施加独立条件之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 $n$ 与 $d$，连结曲面 $σ_s(T_{n,d})$ 是否具有预期维数，除了 Alexander-Hirschowitz 定理中已知的例外情况？
• RQ2 若 $σ_s(T_{n,d})$ 的猜想对 $d=3$ 成立，是否可推广至所有 $d \geq 3$？
• RQ3 对于 $k$-挠率曲面 $O_{k,n,d}$，$σ_s(O_{k,n,d})$ 何时具有缺陷性，其与胖点方案的 Hilbert 函数有何关联？
• RQ4 $σ_s(O_{k,n,d})$ 的缺陷性是否可由支持在一般点处、理想介于 $I_P^{k+1}$ 与 $I_P^{k+2}$ 之间的方案 $Y$ 的预设来刻画？
• RQ5 猜想是否成立：$σ_s(O_{k,n,d})$ 具有缺陷性当且仅当上述 $Y$ 不能对次数为 $d$ 的形式施加独立条件，对所有 $n$、$k$、$d$ 与 $s$ 成立？

主要发现

• $σ_s(T_{n,d})$ 的猜想在所有 $n \leq 9$ 时成立，通过 COCOA 计算验证了 $d=3$ 情形。
• 若猜想对 $d=3$ 成立，则对所有 $d \geq 3$ 成立，确立了简化一般问题的约化原则。
• 对于 $n=2$，本文证明了一个猜想，将 $σ_s(O_{k,n,d})$ 的缺陷性与 $\mathbb{P}^n$ 中胖点集的 Hilbert 函数联系起来，提供了完整刻画。
• 本文证明了 $s_{n,d} = \left\lfloor \frac{1}{2n+1} \binom{n+d}{n} \right\rfloor$ 对所有 $d \geq 4$ 且 $n \geq 7$，或 $d=4$ 且 $n \geq 7$ 满足所需不等式，确保猜想在这些情形下成立。
• 对于 $d \geq 10$，本文验证了关键不等式：$s_{4,d} - s_{3,d} - s_{3,d-1} - 2 \geq s_{4,d-3}$ 与 $s_{4,d} - s_{3,d} - s_{3,d-1} + 1 \leq s_{4,d-2}$，这些不等式对归纳论证至关重要。
• 作者证明了对所有 $d \geq 5$ 且 $n \geq 4$，以及 $d=4$ 且 $n \geq 7$，有 $2s_{n-1,d} \geq 4n - 1$，这支持了猜想在相关参数范围内的有效性。