[论文解读] Second derivatives estimate of suitable solutions to the 3D Navier-Stokes equations

Alexis Vasseur, Jincheng Yang|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 25被引用 8

一句话总结

该论文为三维纳维-斯托克斯方程合适弱解的二阶导数建立了改进的局部可积性估计，实现了对任意 $ q > 4/3 $ 的 $ L^{4/3,q} $ 正则性，优于先前的 $ L^{4/3,\infty} $ 结果。作者结合爆破技巧与涡度方程上的德·乔治迭代，并引入一种用于输运方程的新构造极大函数，获得了与尺度兼容的非线性界，从而在不依赖压力估计或速度正则性先验知识的前提下实现了更高阶的可积性。

ABSTRACT

We study the second spatial derivatives of suitable weak solutions to the incompressible Navier-Stokes equations in dimension three. We show that it is locally $L ^{\frac43, q}$ for any $q > \frac43$, which improves from the current result $L ^{\frac43, \infty}$. Similar improvements in Lorentz space are also obtained for higher derivatives of the vorticity for smooth solutions. We use a blow-up technique to obtain nonlinear bounds compatible with the scaling. The local study works on the vorticity equation and uses De Giorgi iteration. In this local study, we can obtain any regularity of the vorticity without any a priori knowledge of the pressure. The local-to-global step uses a recently constructed maximal function for transport equations.

研究动机与目标

• 将三维纳维-斯托克斯方程合适弱解的二阶导数的局部可积性估计提升至已知的 $ L^{4/3,\infty} $ 估计之外。
• 在不依赖压力大小或速度正则性先验知识的前提下，建立对任意 $ q > 4/3 $ 的二阶导数的 $ L^{4/3,q} $ 正则性。
• 发展涡度方程的局部正则性理论，仅利用能量结构与输运结构即可实现高阶导数估计。
• 通过近期构造的适用于由尺度和伽利略不变性导出的倾斜圆柱的极大函数，将局部估计推广至全局结果。

提出的方法

• 利用尺度变换与伽利略不变性实施爆破技术，沿轨迹对纳维-斯托克斯方程进行缩放，将全局问题转化为移动参考系中的局部问题。
• 在局部圆柱 $ Q_r $ 上对涡度方程应用德·乔治迭代，通过能量项与非线性项估计控制涡度高阶导数的 $ L^\infty $ 范数。
• 构造与倾斜圆柱相关的极大函数 $ M_Q $，以控制通量项，并将局部估计与全局 $ L^{4/3,q} $ 有界性联系起来。
• 通过瑞利变换与截断函数将速度场分解为调和与非调和部分，以分离并控制涡度梯度。
• 利用插值与索伯列夫嵌入，将涡度导数在 $ L^2 $ 与 $ \dot{H}^1 $ 下的界提升为更小圆柱内的 $ L^\infty $ 估计。
• 应用格朗沃尔不等式（Gr\
• research_questions

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明三维纳维-斯托克斯方程合适弱解的二阶导数属于 $ L^{4/3,q} $，其中任意 $ q > 4/3 $，从而改进已知的 $ L^{4/3,\infty} $ 估计？
• RQ2 能否仅利用局部能量与输运结构控制涡度的高阶导数在 Lorentz 空间中的有界性，而无需事先了解压力或速度的正则性？
• RQ3 能否利用适用于由尺度与伽利略不变性导出的倾斜圆柱的极大函数，将局部估计推广至全局 $ L^{4/3,q} $ 有界性？
• RQ4 在爆破论证中，使第二阶导数的 Lorentz 空间估计达到最优的枢纽量的最优尺度是什么？

主要发现

• 三维纳维-斯托克斯方程合适弱解的二阶导数在局部属于 $ L^{4/3,q} $，对任意 $ q > 4/3 $，优于先前的 $ L^{4/3,\infty} $ 估计。
• 对光滑解，涡度的高阶导数满足 $ \|\nabla^n \omega\|_{L^{4/(n+2),q}} \leq C_{q,n} \|u_0\|_{L^2}^2 $，对任意 $ n \geq 0 $ 与 $ q > 1 $ 成立，且常数与 $ T $ 无关。
• 局部定理表明：若在 $ Q_2 $ 内 $ \nabla u $ 与 $ \omega $ 的 $ L^{p_1}_t L^{q_1}_x $ 和 $ L^{p_2}_t L^{q_2}_x $ 范数足够小，则对任意 $ n \geq 0 $，有 $ \|\nabla^n \omega\|_{L^\infty(Q_{8-n-2})} \leq C_n $。
• 与倾斜圆柱相关的极大函数 $ M_Q $ 可控制通量项，并使从 $ \nabla^n \omega $ 的局部 $ L^\infty $ 估计推导出全局 $ L^{4/3,q} $ 估计成为可能。
• 该方法避免了对压力估计的依赖，通过修改的能量不等式与涡度方程实现结果，甚至在 $ n=1 $ 时对 $ L^2 $ 初始数据也成立。
• 爆破技术结合德·乔治迭代与新构造的极大函数，获得了与纳维-斯托克斯方程尺度兼容的非线性界，从而实现了改进的 Lorentz 空间估计。