[论文解读] Second Hankel Determinant for certain class of bi-univalent functions defined by Chebyshev polynomials

Halit Orhan, N. Magesh+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2017

Analytic and geometric function theory参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文为在单位圆盘内与切比雪夫多项式相关的新型双等值全纯函数类 $ \mathcal{N}_{\sigma}^{\mu}(\lambda,t) $，建立了第二 Hankel 行列式 $ |a_2a_4 - a_3^2| $ 的精确上界。通过应用次纯性原理并优化由系数约束导出的实值函数，作者推导出依赖于参数 $ \lambda $、$ \mu $ 和 $ t $ 的显式上界，改进了文献中已有的结果。

ABSTRACT

Making use of Chebyshev polynomials, we obtain upper bound estimate for the second Hankel determinant of a subclass $\mathcal{N}_{σ}^μ\left( λ,t ight) $ of bi-univalent function class $σ.$

研究动机与目标

• 研究通过切比雪夫多项式定义的新一类双等值全 holomorphic 函数的第二 Hankel 行列式 $ |a_2a_4 - a_3^2| $。
• 通过引入与切比雪夫多项式展开相关的参数 $ \lambda $、$ \mu $ 和 $ t $，扩展双等值全 holomorphic 函数的已有系数界。
• 在不同参数条件下，提供第二 Hankel 行列式之显式、精确的上界估计。
• 通过系数泛函的临界点分析，改进文献中已有的结果，特别是 Mustafa [28] 的结果。

提出的方法

• 作者通过涉及第一类切比雪夫多项式的次纯性条件，定义了双等值全 holomorphic 函数的新子类 $ \mathcal{N}_{\sigma}^{\mu}(\lambda,t) $。
• 通过将次纯性原理应用于函数及其逆函数，结合 $ f(z) $ 与 $ f^{-1}(w) $ 的级数展开，推导出系数不等式。
• 基于系数 $ a_2, a_3, a_4 $ 与参数 $ \lambda, \mu, t $，构造实值函数 $ K(c,t) $，并在 $ c \in (0,2) $ 上最大化该函数以界定 Hankel 行列式。
• 通过求解 $ K'(c,t) = 0 $ 进行临界点分析，根据辅助表达式 $ M_1, M_2, M_3, M_4 $ 的符号，识别出局部最大值出现在 $ c = 0^+ $、$ c = 2^- $ 或 $ c = c_0 = \sqrt{-6M_4/M_3} $。
• 根据 $ M_3 $ 与 $ M_4 $ 的符号，分四种情形计算 $ K(c,t) $ 的最大值，从而得出分段的上界。
• 通过特殊情形（包括 $ \lambda = \mu $、$ \mu = 1 $ 和 $ \lambda = \mu = 1 $）验证结果，这些情形可恢复已知界并确认一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在通过切比雪夫多项式定义的双等值全 holomorphic 函数类 $ \mathcal{N}_{\sigma}^{\mu}(\lambda,t) $ 中，第二 Hankel 行列式 $ |a_2a_4 - a_3^2| $ 的精确上界是什么？
• RQ2 参数 $ \lambda $、$ \mu $ 和 $ t $ 如何影响该类中第二 Hankel 行列式的大小？
• RQ3 通过系数泛函的临界点分析，能否在已有文献结果（特别是 Mustafa [28] 的结果）基础上进一步改进该界？
• RQ4 在临界点 $ c_0 $ 位于 $ (0,2) $ 的情形下，不同参数区域中上界的显式表达式是什么？

主要发现

• 当 $ M_1 \geq 0 $ 且 $ M_2 \geq 0 $ 时，第二 Hankel 行列式 $ |a_2a_4 - a_3^2| $ 的上界为 $ \frac{4t^2}{(2\lambda + \mu)^2} $，最大值在 $ c = 0^+ $ 处取得。
• 当 $ M_3 \geq 0 $ 且 $ M_4 \geq 0 $ 时，上界为 $ K(2^{-}, t) = \frac{4t^2}{(2\lambda+1)^2} + \frac{M_3 + 3M_4}{6(\lambda+1)^4(2\lambda+1)^2(3\lambda+1)} $，在 $ c = 2^- $ 处取得。
• 当 $ M_3 < 0 $ 且 $ M_4 > 0 $ 时，最大值出现在临界点 $ c_0 = \sqrt{-6M_4/M_3} $，此时 $ K(c_0, t) = \frac{4t^2}{(2\lambda+1)^2} - \frac{3M_4^2}{8M_3(\lambda+1)^4(2\lambda+1)^2(3\lambda+1)} $。
• 当 $ \lambda = \mu $ 时，上界为 $ t^2(1 - t^2) $（当 $ \frac{1}{2} < t \leq t_{01} \approx 0.603615 $），以及 $ \frac{t(260t^4 + 84t^3 - 139t^2 - 18t + 9)}{8(18t^3 + 42t^2 - 17t - 9)} $（当 $ t_{01} < t < 1 $）。
• 对于子类 $ \mathcal{S}_{\sigma}^*(t) $，当 $ \frac{1}{2} < t \leq \frac{7 + \sqrt{401}}{44} \approx 0.6036 $ 时，上界为 $ \frac{8t^2}{3} $；当 $ t $ 较大时，上界为 $ t^2 + \frac{t(2 + t - 11t^2)^2}{3(22t^2 - 7t - 4)} $。
• 所导出的上界改进了 Mustafa [28] 的结果，尤其在临界点 $ c_0 $ 所对应的极大值严格大于端点值的参数区域中。