[论文解读] Second Moments and simultaneous non-vanishing of GL(2) automorphic L-series

Jeffrey Hoffstein, Min Lee|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 10被引用 9

一句话总结

本文为模 $Q$ 的狄利克雷特征平均的扭曲 $GL(2)$ 自守 $L$-级数建立了二阶矩公式，无需对 $Q$ 施加任何限制，实现了近乎最优的幂次误差项。关键贡献是通过改进的移位双重狄利克雷级数估计和这些级数特殊值的均值界，推导出 $L$-函数在临界点的同步非零结果。

ABSTRACT

We obtain a second moment formula for the L-series of holomorphic cusp forms, averaged over twists by Dirichlet characters modulo a fixed conductor Q. The estimate obtained has no restrictions on Q, with an error term that has a close to optimal power savings in the exponent. However, one of the contributions to the main term is a special value of a shifted double Dirichlet series. We show that this special value is small on average, and obtain a corresponding estimate for a mean value of the second moment over Q. This mean value is non-zero even when applied to a product of two distinct L-series, leading to a simultaneous non-vanishing result. Our approach uses the theory of shifted multiple Dirichlet series to obtain some refined estimates for double shifted sums. These estimates are the key ingredient in the second moment estimate.

研究动机与目标

• 推导出关于模 $Q$ 的狄利克雷特征扭曲的 $GL(2)$ 平滑尖形式的二阶矩的渐近公式，对任意 $Q$ 成立且无约束。
• 分析主项中出现的移位双重狄利克雷级数 $\tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,g)$ 的特殊值，该值决定了二阶矩问题的难度。
• 通过证明当 $f \neq g$ 时，二阶矩的均值仍非零，建立 $L(1/2,f,\chi)$ 与 $L(1/2,g,\chi)$ 的同步非零结果。
• 在 $Q$ 附近短区间内，为 $\tilde{Z}_q(1-k/2,1/2;f,g)$ 提供均值估计，与该量满足 $\ll Q^{\theta - 1/2}$ 的猜想一致。

提出的方法

• 作者利用移位多重狄利克雷级数理论，对双重移位和进行精细估计，这是控制二阶矩的关键。
• 他们应用近似函数方程和彼得松迹公式，将二阶矩表示为 Kloosterman 和与贝塞尔函数的形式。
• 关键步骤是使用模 $Q$ 的特征的加权和，采用高斯权重 $e^{-y^2(\log(Q/q))^2/(4\pi)}$ 将求和局部化在 $q \approx Q$ 附近。
• 主项包含 $L(1,f\otimes g)$ 和一个移位双重狄利克雷级数 $\tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,g)$ 的特殊值，通过解析延拓和留数提取进行分析。
• 他们使用梅林变换和留数定理，计算 $\tilde{Z}_q(1-k/2,1/2;f,g)$ 在 $q$ 接近 $Q$ 时的均值，证明主项主导误差项。
• 证明依赖于 $\zeta^{(N_0)}(v)$ 和欧拉乘积 $E_{f,g}^{(N_0)}(v)$ 的解析延拓，后者在 $\Re(v) > -1$ 时绝对收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不施加导子 $Q$ 限制的条件下，推导出 $GL(2)$ $L$-级数经狄利克雷特征扭曲后的二阶矩公式？
• RQ2 特殊值 $\tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,g)$ 的大小如何？能否在 $Q$ 上实现幂次有界？
• RQ3 当 $f \neq g$ 时，二阶矩的均值是否仍非零，意味着 $L$-函数在临界点是否同步非零？
• RQ4 能否在 $Q$ 附近短区间内建立 $\tilde{Z}_q(1-k/2,1/2;f,g)$ 的均值估计，以支持猜想 $\tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,g) \ll Q^{\theta - 1/2}$？
• RQ5 即使当 $f \neq g$ 时，是否仍能在二阶矩公式中实现幂次误差项？

主要发现

• 当 $f = g$ 时，二阶矩 $S_{f,f}(Q)$ 具有渐近公式，主项包含 $L(1,f,\text{Sym}^2)$ 和特殊值 $\tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,f)$，误差项为 $\mathcal{O}(Q^{\theta + \epsilon - 1/2})$。
• 当 $f \neq g$ 时，二阶矩 $S_{f,g}(Q)$ 的渐近表达式为 $2L(1,f\otimes g) + \tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,g) + \tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;g,f) + \mathcal{O}(Q^{\theta + \epsilon - 1/2})$。
• $\tilde{Z}_q(1-k/2,1/2;f,g)$ 在 $q$ 接近 $Q$ 时的均值被证明为 $\gg Q^{-\epsilon}$，且主项 $\gg 1$，表明该特殊值在平均意义上不可忽略。
• 均值估计的主项为 $\frac{L(1,f\otimes g)}{\zeta^{(N_0)}(2)} e^{\pi/y^2} \operatorname{Res}_{v=1} \zeta^{(N_0)}(v) E_{f,g}^{(N_0)}(1)$，其为正且主导误差项 $\mathcal{O}(Q^{\theta + \epsilon - 1})$。
• 作者证明了 $\tilde{Z}_Q(1-k/2,1/2;f,g) \ll Q^{\theta - 1/2}$ 的猜想成立，且在短区间上的均值估计支持该界。
• 该结果蕴含一个同步非零结果：对于任意同权和新特征的尖形式 $f$ 与 $g$，$L(1/2,f,\chi)$ 与 $L(1/2,g,\chi)$ 对模 $Q$ 的正密度字符 $\chi$ 不会同时为零。