[论文解读] Second moments and the bias conjecture for the family of cubic pencils

Matija Kazalicki, Bartosz Naskręcki|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2020

Analytic Number Theory Research参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文为1参数族三次线性系 $ \mathcal{F}_k: y^2 = P(x)k + Q(x) $ 的二阶矩和 $ M_{2,p}(\mathcal{F}_k) $ 提供了一个显式公式，其中 $ \deg P, \deg Q \leq 3 $，并以一个亏格2曲线上的点计数来表达它。在假设亏格2曲线的Sato-Tate猜想成立的前提下，作者证明了偏差猜想——即在渐近展开中最大非平均化的低阶项的平均值为负。

ABSTRACT

For a 1-parametric family $E_k$ of elliptic curves over $\mathbb{Q}$ and a prime $p$, consider the second moment sum $M_{2,p}(E_k)=\sum_{k \in \mathbb{F}_p} a_{k,p}^2$, where $a_{k,p}=p+1-\#E_k(\mathbb{F}_p)$. Inspired by Rosen and Silverman's proof of Nagao conjecture which relates the first moment of a rational elliptic surface to the rank of Mordell-Weil group of the corresponding elliptic curve, S. J. Miller initiated the study of the asymptotic expansion of $M_{2,p}(E_k)=p^2+O(p^{3/2})$ (which by the work of Deligne and Michel has cohomological interpretation). He conjectured that, similar to the first moment case, the largest lower-order term that does not average to 0 has a negative bias. In this paper, we provide an explicit formula for the second moment $M_{2,p}(\mathcal{E}_{U})$ of $$ \mathcal{E}_{U}:y^2=P(x)U+Q(x), $$ where $ extrm{deg } P(x), extrm{deg } Q(x)\leq 3$. For a generic choice of polynomials $P(x)$ and $Q(x)$ this formula is expressed in terms of the point count of a certain genus two curve. As an application, we prove that the Bias conjecture holds for the pencil of the cubics $\mathcal{E}_U$.

研究动机与目标

• 推导1参数族三次线性系在 $ \mathbb{F}_p $ 上的二阶矩和 $ M_{2,p}(\mathcal{F}_k) $ 的显式公式。
• 通过动机分解将二阶矩与 $ \mathrm{Sym}^2 \mathcal{F}_\ell $ 上弗罗贝尼乌斯算子的迹联系起来。
• 研究二阶矩的渐近行为，并识别主导的非平均化低阶项。
• 在亏格2曲线的Sato-Tate猜想假设下，证明该族的偏差猜想。
• 根据关联的Kummer三复形的几何结构对情况进行分类，并确定何时族具有恒定的 $ j $-不变量。

提出的方法

• 通过 $ \ell $-进上同调使用动机分解，将二阶矩与 $ \mathrm{Sym}^2 \mathcal{F}_\ell $ 上的弗罗贝尼乌斯迹联系起来。
• 将二阶矩约化为由三次线性系的判别式定义的Kummer三复形上的点计数。
• 显式计算Kummer三复形的不可约分支分解，包括亏格2曲线和圆锥曲线。
• 应用亏格2曲线的Sato-Tate猜想，分析弗罗贝尼乌斯迹的分布并推导偏差行为。
• 使用代数几何工具，包括格列伯基底和MAGMA，根据 $ P(x) $ 和 $ Q(x) $ 的次数与根结构对情况进行分类。
• 确定线性系的 $ j $-不变量，并对 $ j $-不变量为常数的情况进行分类，表明仅当 $ j = 0 $ 或 $ j = 12^3 $ 时才可能，除非 $ P $ 与 $ Q $ 成比例。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathbb{F}_p $ 上，1参数族三次线性系的二阶矩和 $ M_{2,p}(\mathcal{F}_k) $ 的显式公式是什么？
• RQ2 二阶矩如何分解为几何不变量（如亏格2曲线或圆锥曲线上的点计数）？
• RQ3 在何种条件下，二阶矩在其渐近展开中表现出非零偏差？
• RQ4 亏格2曲线的Sato-Tate猜想在证明该族的偏差猜想中起什么作用？
• RQ5 线性系 $ \mathcal{F}_k $ 的 $ j $-不变量在何时为常数，这对二阶矩有何影响？

主要发现

• 对于一般三次线性系，二阶矩 $ \widetilde{M}_{2,p}(\mathcal{F}) $ 的表达式为 $ 2p^2 + p(-\left(\frac{-3}{p}\right) - \left(\frac{-35}{p}\right) - 1 - \mu_1(p) - \mu_2(p) + \mu_3(p)) $，其中 $ \mu_i(p) $ 表示某些多项式在 $ \mathbb{F}_p $ 上的根数。
• 对于 $ j $-不变量恒为0且无非极小纤维的族，二阶矩为 $ \widetilde{M}_{2,p} = p^2(2 + \left(\frac{-3}{p}\right)) - 1 - \left(\frac{-3}{p}\right) $，确认了 $ -1 $ 的负偏差。
• 在亏格2曲线的Sato-Tate猜想假设下，该族的偏差猜想成立，因为最大非平均化低阶项的平均值为负。
• 线性系 $ y^2 = P(x)k + Q(x) $ 的 $ j $-不变量为常数，仅当 $ j = 0 $、$ j = 12^3 $，或 $ P $ 与 $ Q $ 成比例时成立。
• 二阶矩的动机分解由Kummer三复形的几何结构决定，其分量根据判别式和根结构分解为亏格0、1或2的曲线。
• 在非极小模型情况下，主导项可能为 $ 2p^2 $，偏离Michel界，这是由于存在奇点纤维所致。