[论文解读] Second-oder analysis in second-oder cone programming

Nguyen T. V. Hang, Boris S. Mordukhovich+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2017

Optimization and Variational Analysis参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文首次在无需非退化性假设的前提下，对第二类锥规划（SOCPs）进行了全面的二阶变分分析。它建立了洛伦兹锥指示函数的二阶上确界可微性，并在最弱的度量次正则性约束条件下，推导出法锥映射的图形导数的显式公式，从而实现了对扰动SOCP系统中拉格朗日乘子唯一性与孤立鲁棒性的新表征。

ABSTRACT

The paper conducts a second-order variational analysis for an important class of nonpolyhedral conic programs generated by the so-called second-order/Lorentz/ice-cream cone $Q$. From one hand, we prove that the indicator function of $Q$ is always twice epi-differentiable and apply this result to characterizing the uniqueness of Lagrange multipliers at stationary points together with an error bound estimate in the general second-order cone setting involving ${\cal C}^2$-smooth data. On the other hand, we precisely calculate the graphical derivative of the normal cone mapping to $Q$ under the weakest metric subregularity constraint qualification and then give an application of the latter result to a complete characterization of isolated calmness for perturbed variational systems associated with second-order cone programs. The obtained results seem to be the first in the literature in these directions for nonpolyhedral problems without imposing any nondegeneracy assumptions.

研究动机与目标

• 开发非多面体第二类锥规划（SOCPs）的二阶变分分析，其挑战源于洛伦兹锥的非多面体结构。
• 建立洛伦兹锥 ${\cal Q}$ 指示函数的二阶上确界可微性，为高阶分析提供基础。
• 在可能的最弱约束条件下——度量次正则性——推导出SOCP约束集法锥映射的图形导数的显式公式。
• 将这些结果应用于刻画关键优化性质：扰动变分系统中拉格朗日乘子的唯一性与解映射的孤立鲁棒性。
• 将分析从标准单锥情形扩展至乘积锥情形，对更广泛的锥规划具有启示意义。

提出的方法

• 本文采用二阶广义微分工具，特别是Rockafellar的上确界可微性概念，分析洛伦兹锥 ${\cal Q}$ 的指示函数 $\delta_{\cal Q}$。
• 证明了 $\delta_{\cal Q}$ 是二阶上确界可微的，并利用 ${\cal Q}$ 的几何结构推导出其第二阶上确界导数的显式公式。
• 分析依赖于度量次正则性约束条件（MSCQ），该条件被证明是推导二阶性质的最弱可行约束条件。
• 在MSCQ下，通过二阶上确界导数与临界锥分析，推导出法锥映射 $N_\Gamma$ 的图形导数的新公式。
• 该方法结合了广义微分微积分与变分分析技术，包括临界锥与法锥结构的运用。
• 通过引入一种与严格Robinson约束条件（SRCQ）对偶的新约束条件，实现了对唯一性与误差界刻画的应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无需非退化性假设的前提下，能否证明第二类锥 ${\cal Q}$ 指示函数的二阶上确界可微性？
• RQ2 在仅度量次正则性条件下，SOCP约束集 $\Gamma$ 的法锥映射的图形导数的精确公式是什么？
• RQ3 如何利用二阶变分工具刻画SOCP中拉格朗日乘子的唯一性？
• RQ4 能否通过一种与严格Robinson条件对偶的新约束条件，自动推导出SOCP的误差界估计？
• RQ5 在何种条件下，与SOCP相关的扰动变分系统解映射表现出孤立鲁棒性？

主要发现

• 洛伦兹锥的指示函数 $\delta_{\cal Q}$ 是二阶上确界可微的，其第二阶上确界导数仅基于 ${\cal Q}$ 的几何数据被显式计算出来。
• 在度量次正则性约束条件（MSCQ）下，法锥映射 $N_\Gamma$ 的图形导数被精确计算，无需依赖非退化性假设。
• 提出了一种与严格Robinson条件对偶的新约束条件，并用于刻画SOCP中拉格朗日乘子的唯一性。
• 通过新约束条件，自动推导出SOCP的误差界估计，且在 $C^2$-光滑数据条件下成立。
• 通过引入涉及图形导数与法锥结构的新条件，完全刻画了与SOCP相关的扰动变分系统解映射的孤立鲁棒性。
• 数值例子表明，孤立鲁棒性在某些可行点成立，而在其他点不成立，验证了理论刻画的精确性。