[论文解读] Second order asymptotics for Brownian motion in a heavy tailed Poissonian potential

Ryoki Fukushima|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 12被引用 16

一句话总结

该论文研究了在重尾泊松点过程势场中，布朗运动的费曼-海斯函数的二阶渐近行为，其中势场具有幂律衰减 $|x|^{-\beta}$，且满足 $d < \beta < d+2$。通过变分方法与大偏差技术，推导出精确的二阶矩和几乎必然渐近行为，包括生存概率的二阶校正项，以及关联随机薛定谔算符的态密度积分的二阶渐近性质。

ABSTRACT

We consider the Feynman-Kac functional associated with a Brownian motion in a random potential. The potential is defined by attaching a heavy tailed positive potential around the Poisson point process. This model was first considered by Pastur (1977) and the first order term of the moment asymptotics was determined. In this paper, both moment and almost sure asymptotics are determined up to the second order. As an application, we also derive the second order asymptotics of the integrated density of states of the corresponding random Schrödinger operator.

研究动机与目标

• 推导在重尾泊松点过程势场中布朗运动的费曼-海斯函数的二阶渐近行为。
• 将帕斯图尔的一阶矩渐近行为推广至包含二阶校正项。
• 建立生存概率的几乎必然渐近行为，精确到二阶。
• 确定对应随机薛定谔算符的态密度积分的二阶渐近行为。

提出的方法

• 使用变分方法分析大方盒中的主特征值。
• 应用大偏差技术以控制势场尾部行为。
• 采用费曼-海斯公式将生存概率与矩生成函数联系起来。
• 利用泊松点过程的矩生成函数（通过特征函数与累积量）计算方差与高阶矩。
• 通过泰勒展开与局部化技术，估计相关区域内 $V_\omega(x)$ 与 $V_\omega(0)$ 的差异。
• 通过谱比较方法，将态密度积分问题约化为有限方盒中特征值估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在重尾泊松点过程势场中，费曼-海斯函数矩渐近行为的二阶校正项是什么？
• RQ2 布朗运动在重尾势场中的典型路径行为如何？其生存概率的几乎必然渐近行为如何？
• RQ3 具有此类势场的随机薛定谔算符的态密度积分的二阶渐近行为是什么？
• RQ4 势场贡献的方差如何影响矩渐近行为中的二阶项？

主要发现

• 费曼-海斯函数矩的二阶渐近行为被推导为 $\exp\left\{ -a_1 t^{d/\beta} - a_2 t^{d/\beta} (\log t)^{-\gamma} + o(t^{d/\beta} (\log t)^{-\gamma}) \right\}$，其中 $a_1, a_2, \gamma$ 为显式常数。
• 生存概率的几乎必然渐近行为被证明与矩渐近行为在二阶精度下一致，从而确认了典型路径的行为特征。
• 通过在大方盒中进行特征值估计，推导出态密度积分的二阶校正项，显示出依赖于 $\log t$ 的校正项。
• 由于 $|x|^{-\beta}$ 的局部化与衰减性质，势场贡献的方差在二阶项中可忽略不计。
• 在大方盒 $(-t,t)^d$ 中的主特征值被证明上界为 $ (\log t)^{-(\beta - d)/d} $ 阶的项，该界控制了态密度积分。