[论文解读] Second order backward SDE with random terminal time

Yiqing Lin, Zhenjie Ren+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用 11

一句话总结

本文为具有随机终端时间的二阶倒向SDE（2BSDE）建立了完整的适定性理论，在波动率不确定性下将非线性鞅表示推广至路径相关设定。证明了2BSDE的解对应于衍生品头寸的鲁棒超对冲价格，并通过拟sure随机分析将该解与完全非线性椭圆路径相关PDE的粘性解联系起来。

ABSTRACT

Backward stochastic differential equations extend the martingale representation theorem to the nonlinear setting. This can be seen as path-dependent counterpart of the extension from the heat equation to fully nonlinear parabolic equations in the Markov setting. This paper extends such a nonlinear representation to the context where the random variable of interest is measurable with respect to the information at a finite stopping time. We provide a complete wellposedness theory which covers the semilinear case (backward SDE), the semilinear case with obstacle (reflected backward SDE), and the fully nonlinear case (second order backward SDE).

研究动机与目标

• 将非线性鞅表示定理推广至随机终端时间的情形。
• 在随机horizon设定下，为二阶倒向SDE（2BSDE）建立完整的适定性理论。
• 将2BSDE的解与波动率不确定性下的鲁棒超对冲问题联系起来。
• 建立2BSDE与完全非线性椭圆路径相关PDE的粘性解之间的联系。
• 将半线性和反射型BSDE框架推广至具有随机停止时间的完全非线性2BSDE情形。

提出的方法

• 在连续路径的自然空间上构造2BSDE，使用自然过程$X$，由布朗运动和波动率控制驱动。
• 使用一族$\mathcal{P}$奇异局部鞅测度来表示解，实现拟sure意义下的鲁棒性，确保在模型不确定性下的稳定性。
• 通过漂移项$F(t, Y_t, Z_t, \hat{\sigma}_t)$、随机积分$Z \cdot X$以及补偿上鞅$U^\mathbb{P}$的组合来定义解。
• 施加最小性条件$\sup_{\mathbb{P} \in \mathcal{P}} \mathbb{E}^\mathbb{P}[U^\mathbb{P}_T] = 0$，以确保唯一性与完全非线性性。
• 将该理论应用于波动率不确定性下的超对冲问题，其中$\mathcal{P}^{\rm UVM}$为波动率取值于$[\underline{\sigma}, \overline{\sigma}]$的测度集合。
• 利用2BSDE与路径相关HJB方程的粘性解之间的联系，将值函数刻画为$ru - \sup_{\gamma \in [\underline{\sigma}, \overline{\sigma}]} \frac{1}{2}\gamma^2 \partial^{2}_{\omega\omega}u = 0$在$\mathcal{Q}$上的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 非线性鞅表示定理如何推广至随机终端时间的情形？
• RQ2 当终端时间是一个停时，二阶倒向SDE的适定性理论是什么？
• RQ3 具有随机horizon的2BSDE的解如何与波动率不确定性下的鲁棒超对冲相关联？
• RQ4 在波动率不确定性下，随机控制问题的值函数能否被刻画为路径相关PDE的粘性解？
• RQ5 在何种条件下，值函数具有一致连续性并满足路径相关HJB方程？

主要发现

• 具有随机终端时间$\mathrm{H}_Q$的2BSDE的解由$Y_{t \wedge \mathrm{H}_Q} = \xi - \int_{t \wedge \mathrm{H}_Q}^{\mathrm{H}_Q} rY_s ds - \int_{t \wedge \mathrm{H}_Q}^{\mathrm{H}_Q} Z_s \cdot dX_s + \int_{t \wedge \mathrm{H}_Q}^{\mathrm{H}_Q} dK_s$给出，$\mathcal{P}^{\rm UVM}$-拟sure地成立。
• 初始值$Y_0$满足$u_0 = \sup_{\mathbb{P} \in \mathcal{P}^{\rm UVM}} \mathbb{E}^\mathbb{P}[Y_0]$，其值等于头寸$\xi$的鲁棒超对冲价格。
• 值函数$u_0$是路径相关HJB方程$ru - \sup_{\gamma \in [\underline{\sigma}, \overline{\sigma}]} \frac{1}{2}\gamma^2 \partial^{2}_{\omega\omega}u = 0$在$\mathcal{Q}$上的粘性解，且在$\partial\mathcal{Q}$上满足$u = \xi$。
• 解$Y_0$被刻画为在每个$\mathbb{P} \in \mathcal{P}^{\rm UVM}$下，相关BSDE的$\mathbb{P}$-a.s. 解的essential supremum。
• 在非线性期望下击中时间$\mathrm{H}^x_Q$的一致连续性，确保了粘性解刻画所需的正则性。
• 该理论统一了半线性BSDE、反射型BSDE以及具有随机horizon的完全非线性2BSDE框架。