[论文解读] Second-order BSDEs with general reflection and Dynkin games under uncertainty

Anis Matoussi, Lambert Piozin+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 40被引用 6

一句话总结

本文在波动率不确定性下，为具有上下边界的一类双反射二阶倒向随机微分方程（DRBSDEs）建立了适定性理论，扩展了先前关于反射型2BSDEs的研究。该研究将这些DRBSDEs与不确定性下的Dynkin博弈相联系，并为波动率模糊性市场中的美式博弈期权提供了超对冲与次对冲价格。

ABSTRACT

The aim of this paper is twofold. First, we extend the results of (32) concerning the existence and uniqueness of second-order reflected 2BSDEs to the case of upper obstacles. Then, under some regularity assumptions on one of the barriers, similar to the ones in (9), and when the two barriers are completely separated, we provide a complete wellposedness theory for doubly reflected second-order BSDEs. We also show that these objects are related to non-standard optimal stopping games, thus generalizing the connection between DRBSDEs and Dynkin games first proved by Cvitanic and Karatzas (10). More precisely, we show that the second order DRBSDEs provide solutions of what we call uncertain Dynkin games and that they also allow us to obtain super and subhedging prices for American game options (also called Israeli options) in financial markets with volatility uncertainty. �

研究动机与目标

• 将二阶反射型2BSDE的存在性与唯一性结果扩展至存在上障碍的情形。
• 当两个障碍完全分离时，为双反射二阶BSDE建立完整的适定性理论。
• 建立二阶DRBSDE与模型不确定性下非标准最优停止博弈之间的联系。
• 将该理论应用于推导在波动率不确定性金融市场中，美式博弈期权（以色列期权）的超对冲与次对冲价格。

提出的方法

• 将先前关于二阶反射型2BSDE的研究结果扩展至包含上障碍的情形，基于适当的正则性条件下使用比较原理。
• 对一个障碍施加类似于文献(9)中的正则性假设，以确保足够光滑性以支持适定性分析。
• 采用双重反射方法，同时处理上下障碍，确保解始终位于障碍区域之内。
• 使用非线性期望框架来建模波动率不确定性，与二阶BSDE理论保持一致。
• 通过验证论证，建立DRBSDE解与不确定Dynkin博弈价值过程之间的联系。
• 通过将DRBSDE解解释为在波动率模糊性下期权价格的上下界，推导出美式博弈期权的对冲边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有上下障碍的二阶双反射BSDE存在唯一解？
• RQ2 如何将二阶BSDE理论扩展至反射情形下的上障碍处理？
• RQ3 二阶DRBSDE与模型不确定性下的最优停止博弈之间存在何种联系？
• RQ4 二阶DRBSDE如何与波动率不确定性市场中美式博弈期权的超对冲与次对冲策略相关联？
• RQ5 二阶DRBSDE的解是否可被解释为不确定Dynkin博弈的值？

主要发现

• 当两个障碍完全分离且一个障碍满足类似于文献(9)中的正则性条件时，本文建立了二阶双反射BSDE解的存在性与唯一性。
• 证明了二阶DRBSDE的解对应于不确定Dynkin博弈的价值过程，推广了经典的Cvitanic-Karatzas联系。
• DRBSDE框架为波动率不确定性下的美式博弈期权提供了稳健的超对冲与次对冲价格表征。
• 该理论将经典的DRBSDE与Dynkin博弈联系扩展至二阶设定，纳入了波动过程中的模型模糊性。
• 由于双重反射机制的存在，解始终保持在障碍区域之内，确保与博弈停止约束的一致性。
• 所有结果均在非线性期望框架下推导得出，允许波动率不确定性，而无需假设特定概率测度。