[论文解读] Second order difference approximation for a class of Riesz space fractional advection-dispersion equations with delay

Mahdi Saedshoar Heris, Mohammad Javidi|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 44被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于分数阶后向差分公式（FBDF）和移位Gr"{u}nwald差分（WSGD）方法的二阶精度有限差分格式，用于求解具有延迟的Riesz空间分数阶对流-弥散方程（RFADED）。该方法实现了条件稳定性和收敛性，精度为$\mathcal{O}(\kappa^2 + h^2)$，并推导出以Mittag-Leffler函数表示的解析解。数值结果证实了该方法在不同分数阶阶数和延迟参数下的高精度与高效性。

ABSTRACT

In this paper, we propose numerical scheme for the Riesz space fractional advection-dispersion equations with delay (RFADED). Firstly, analytical solution for RFADED in terms of the functions of Mittag-Leffler type is derived. Secondly, the fractional backward differential formulas (FBDF) method and shifted Grünwald method are introduced to the Riesz space fractional derivatives. Next, stability and convergency of these methods have been proved. Thirdly, Crank-Nicolson scheme for solving this problem is proposed. We prove that the scheme is conditionally stable and convergent with the order accuracy of ${ m O}({κ^2} + {h^2})$. Finally, some numerical results are given to demonstrate that presented method is a computationally efficient and accurate method for solving RFADED.

研究动机与目标

• 为求解由于分数阶导数与时间延迟共同作用而复杂的Riesz空间分数阶对流-弥散方程与延迟（RFADED），开发一种数值格式。
• 推导出以Mittag-Leffler函数表示的RFADED解析解，为数值结果提供理论验证依据。
• 利用分数阶后向差分公式（FBDF）和移位Gr"{u}nwald差分（WSGD）方法，建立一种用于空间Riesz分数阶导数的二阶精度有限差分方法。
• 证明所提出的Crank-Nicolson型格式在$\mathcal{O}(\kappa^2 + h^2)$精度下的条件稳定性与收敛性。
• 通过改变分数阶阶数和延迟参数的数值实验，展示该方法在计算效率和精度方面的优越性。

提出的方法

• 采用移位Gr"{u}nwald差分（WSGD）方法对Riesz空间分数阶导数进行逼近，该方法在空间上实现二阶精度。
• 对时间分数阶导数（阶数$\gamma \in (0,1)$）采用分数阶后向差分公式（FBDF）方法进行逼近，确保时间方向上的二阶精度。
• 通过结合FBDF处理时间与WSGD处理空间，构建Crank-Nicolson型格式，形成每时间步可求解的线性系统。
• 利用离散能量法严格证明该格式的稳定性和收敛性，表明在时间步长受限条件下具有条件稳定性。
• 通过在初始时间区间$t \in [0, \tau]$内显式处理初始历史函数$g(x,t)$，有效处理延迟项，将问题简化为标准的RFADE。
• 利用拉普拉斯变换推导出解析解，并以Mittag-Leffler函数形式表达，为数值验证提供精确基准。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于FBDF与WSGD方法，为具有延迟的Riesz空间分数阶对流-弥散方程（RFADED）构建一个二阶精度的有限差分格式？
• RQ2 所提出的Crank-Nicolson型格式在RFADED中的稳定性和收敛性行为如何？其有效性的保证条件是什么？
• RQ3 该方法在不同分数阶阶数$\alpha$、$\beta$、$\gamma$和延迟$\tau$下的精度与计算效率表现如何？
• RQ4 RFADED的解析解能否以Mittag-Leffler函数形式表达？其与数值结果的对比结果如何？
• RQ5 该方法在空间和时间方向上的收敛速率是多少？与标准L1/Gr"{u}nwald逼近方法相比有何差异？

主要发现

• 所提出的Crank-Nicolson格式在时间（$\kappa^2$）和空间（$h^2$）方向上均实现条件稳定与收敛，总收敛率为$\mathcal{O}(\kappa^2 + h^2)$。
• 数值实验表明，当$\alpha = 0.5$，$\beta = 1.6$，$\gamma = 0.2$时，空间方向的收敛阶数约为2.0，误差随$ h $减半从$1.4195 \times 10^{-4}$降至$9.0898 \times 10^{-6}$。
• 当$\alpha = 0.2$，$\beta = 1.9$，$\gamma = 0.5$时，$h = 1/128$处的空间收敛阶数达到2.00，验证了二阶精度。
• 该方法在时间方向也保持二阶收敛，不同参数集下的收敛阶数为1.85–2.02，表明其时间精度具有鲁棒性。
• 在示例2中，绝对误差在$h = \kappa = 1/16$时始终低于$6.1 \times 10^{-4}$，在$h = \kappa = 1/128$时降至$1.03 \times 10^{-5}$，显示出极高的精度。
• 成功推导出以Mittag-Leffler函数表示的RFADED解析解，为数值格式的验证提供了精确基准。