[论文解读] Second order estimates for complex Hessian equations on Hermitian manifolds

Weisong Dong, Chang Li|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 40被引用 4

一句话总结

本文在紧致 Hermitian 流形上，针对右端项依赖于梯度的复 Hessian 方程，建立了 $χ$-强拟凸解的统一二阶导数估计。通过借鉴实 Hessian 方程的技术，并扩展 Phong-Picard-Zhang 的方法，作者在自然的曲率与强椭圆性假设下，获得了先验 $C^2$ 估计，推广了已知的 Monge-Ampère 方程结果，并解决了非 Kähler 几何中的一个关键挑战。

ABSTRACT

We derive second order estimates for $χ$-plurisubharmonic solutions of complex Hessian equations with right hand sides depending on gradients on compact Hermitian manifolds.

研究动机与目标

• 在右端项依赖于解的梯度时，建立紧致 Hermitian 流形上复 Hessian 方程的统一二阶导数估计。
• 将 Kähler 情形下的二阶估计框架扩展至非 Kähler（Hermitian）情形，特别是针对完全非线性方程。
• 解决由方程中梯度依赖性引发的三阶项控制难题，此类项会干扰标准估计。
• 将 Hermitian 流形上复 Monge-Ampère 方程的 $C^2$ 估计推广至更广泛的复 Hessian 方程类。
• 为在非 Kähler 紧致流形上求解复 Hessian 方程的连续性方法提供基础估计。

提出的方法

• 将 Guan-Ren-Wang 在实 Hessian 方程中的技术适配至复设置，尤其处理右端项依赖于梯度的情形。
• 在量 $|D\bar{D}u|_\omega^2$ 上采用最大值原理方法，以控制二阶导数。
• 使用一个精心构造的辅助函数，结合 $\phi$ 和 $\varphi$，以吸收有害的三阶项并控制曲率项。
• 应用复版本的辅助函数方法，其中 $\phi^\prime\prime - 2\phi^{\prime 2}/\phi^{\prime 2} \geq 0$，以确保辅助函数的凸性。
• 通过使用 $P_m = \sigma_m(\tilde{g})$ 和 $\sigma_k^{p\bar{p}}$ 的扰动论证，控制 Hessian 结构与特征值。
• 推导一个关键不等式，涉及 $\sum_p (A_p + B_p + C_p + D_p)$，并通过小参数 $\beta$、$\tau$ 和 $\delta$ 控制负项。

实验结果

研究问题

• RQ1 当右端项依赖于解的梯度时，能否在紧致 Hermitian 流形上为复 Hessian 方程建立二阶估计？
• RQ2 如何处理方程中梯度依赖项，以控制估计中的三阶导数？
• RQ3 在最大值原理方法中，为适应非 Kähler 几何与 Kähler 情形下不存在的曲率项，需要做出哪些修改？
• RQ4 能否将 Hermitian 流形上复 Monge-Ampère 方程的 $C^2$ 估计推广至包含梯度依赖性的复 Hessian 方程全类？
• RQ5 是否可能在自然的强椭圆性条件 $g \in \Gamma_k$ 下而非要求 $g \in \Gamma_{k+1}$ 的条件下，获得统一的 $C^2$ 估计？

主要发现

• 本文为紧致 Hermitian 流形上复 Hessian 方程的 $χ$-强拟凸解建立了统一的二阶导数估计 $|D\bar{D}u|_\omega \leq C$。
• 常数 $C$ 仅依赖于 $(M,\omega)$、$\varepsilon$、$n$、$k$、$\chi$、$\psi$、$\sup_M |u|$ 和 $\sup_M |Du|$，确保了估计的统一性。
• 该结果将 Hermitian 流形上复 Monge-Ampère 方程的 $C^2$ 估计推广至更广泛的复 Hessian 方程类。
• 该方法成功控制了在 $\psi$ 依赖于 $Du$ 时，对方程进行两次微分所产生涉及 $|DDu|^2$ 和 $|D\bar{D}u|^2$ 的问题项。
• 作者在条件 $\chi(z,u) \geq \varepsilon \omega$ 下获得估计，该条件确保了统一强椭圆性，是 $\Gamma_k$ 条件的自然强化。
• 证明依赖于小参数 $\beta$、$\tau$ 和 $\delta$ 的精细平衡，以及辅助函数 $\phi$ 和 $\varphi$ 的选择，以主导负曲率项与三阶项。