[论文解读] Second-order finite difference approximations of the upper-convected time derivative

Oishi, Cassio Machiaveli|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Fluid Dynamics and Vibration Analysis参考文献 55被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于广义李导数（GLD）框架的二阶精度有限差分格式，用于粘弹性流模拟中的上对流时间导数。通过将GLD与基于特征线法的拉格朗日型离散化及线性/双二次插值相结合，该方法实现了显式、稳定的二阶时间精度更新，避免了大型线性系统的求解，从而实现了高魏森伯格数下Oldroyd-B模型的鲁棒模拟。

ABSTRACT

In this work, new finite difference schemes are presented for dealing with the upper-convected time derivative in the context of the generalized Lie derivative. The upper-convected time derivative, which is usually encountered in the constitutive equation of the popular viscoelastic models, is reformulated in order to obtain approximations of second-order in time for solving a simplified constitutive equation in one and two dimensions. The theoretical analysis of the truncation errors of the methods takes into account the linear and quadratic interpolation operators based on a Lagrangian framework. Numerical experiments illustrating the theoretical results for the model equation defined in one and two dimensions are included. Finally, the finite difference approximations of second-order in time are also applied for solving a two-dimensional Oldroyd-B constitutive equation subjected to a prescribed velocity field at different Weissenberg numbers.

研究动机与目标

• 为粘弹性本构方程中的上对流时间导数构建二阶精度的有限差分近似。
• 通过利用广义李导数（GLD）框架，克服传统欧拉型迎风格式在稳定性和精度方面的局限性。
• 构建显式、稳定的时间积分格式，避免求解大型线性系统，与隐式迎风方法形成对比。
• 通过拉格朗日插值实现时间方向二阶收敛，空间方向p阶精度。
• 在1D和2D模型问题以及不同魏森伯格数下的2D Oldroyd-B方程上验证该方法。

提出的方法

• 通过广义李导数（GLD）重新表述上对流时间导数，以支持更高阶的时间离散化。
• 在拉格朗日框架下应用特征线法，追踪流体质点轨迹，并沿其路径离散化物质导数。
• 采用基于t−Δt、t和t+Δt时刻值的三步格式进行二阶时间离散化，实现O(Δt²)的截断误差。
• 使用线性（p=1）和二次（p=2）拉格朗日插值，从上一时间层重构特征点处的场值。
• 构建显式更新公式以更新应力张量，仅依赖矩阵运算与插值，避免隐式求解。
• 采用预测-校正风格的算法，在t−Δt和t+Δt时刻均进行插值，以实现时间方向的二阶精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于广义李导数框架，为上对流时间导数构造出二阶精度的有限差分格式？
• RQ2 将GLD与拉格朗日特征线法结合，是否能获得无需求解大型线性系统的显式、稳定时间积分格式？
• RQ3 所提格式的截断误差行为如何？能否实现时间方向的二阶收敛？
• RQ4 该方法在模型问题及2D Oldroyd-B方程上的数值表现如何，尤其在不同魏森伯格数下？
• RQ5 与标准欧拉型迎风格式不同，该方法是否能在不强制满足CFL条件的情况下保持精度与稳定性？

主要发现

• 所提格式在时间方向实现二阶精度，对广义李导数近似有严格的O(Δt²)截断误差证明。
• 该方法为显式更新，避免求解大型线性系统，在计算效率上优于隐式迎风格式。
• 数值实验结果证实，无论是一维还是二维模型问题，在线性与二次插值下，时间方向均实现二阶收敛。
• 该格式成功模拟了高魏森伯格数（最高达Wi=10）下的二维Oldroyd-B本构方程，表现出鲁棒性与稳定性。
• 结合GLD与拉格朗日插值，可在对流主导区域中准确重构质点轨迹上的应力场。
• 该方法在无条件稳定的意义上表现稳定，即无需强制满足CFL条件，与标准欧拉型迎风方法形成鲜明对比。