[论文解读] Second order gauge invariant discretizations to the Schrödinger and Pauli equations

Snorre H. Christiansen, Tore Gunnar Halvorsen|arXiv (Cornell University)|May 29, 2015

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文提出了一种二阶精度、规范不变的有限元方法，用于通过有限元和规范场论求解薛定谔方程与泡利方程。通过构建依赖于规范势的有限元空间，并利用规范依赖的范数进行分析，该方法在保持离散规范不变性的同时实现了二阶收敛，相较于以往的一阶方法是一大改进。

ABSTRACT

We introduce a numerical method, based on finite elements and lattice gauge theory, to compute approximate solutions to Schrödinger and Pauli equations. The crucial geometric property of the method is discrete gauge invariance. The main new achievement is second order convergence. This is proved by interpreting the method as defined on gauge potential dependent finite element spaces and providing an analysis of such spaces in terms of gauge potential dependent norms on simplices of all dimensions.

研究动机与目标

• 开发一种用于薛定谔方程与泡利方程的数值方法，使其在局部 U(1) 变换下保持离散规范不变性。
• 在离散 H^1 和 L^2 范数下实现二阶收敛，克服标准 Galerkin 有限元方法仅具有一阶收敛的局限。
• 将有限元方法扩展至处理依赖于规范势 A 的函数空间，利用 Whitney 单形形式与节点插值算子。
• 确保能量本征值与概率密度等可观测量在离散设置下对规范变换保持不变。
• 通过定义在所有维度单形上的范数，对依赖于规范势 A 的有限元空间进行严格分析。

提出的方法

• 该方法在单纯形网格上采用连续分段仿射复值有限元，协变梯度定义为 $\nabla_A u = \nabla u + i A u$。
• 通过将波函数的规范变换修改为 $u' = \Pi_h e^{i\alpha} u$ 来实现离散规范不变性，其中 $\Pi_h$ 为节点插值算子，确保 $u'$ 仍属于有限元空间。
• 变分格式采用双线性形式 $a[u,v] = \int (\nabla_A u)^\dagger \cdot (\nabla_A v)$ 和 $\langle u,v \rangle = \int u^\dagger v$，并通过修改后的变换规则保持离散规范不变性。
• 通过在所有维度的单形上定义的依赖于规范势的范数进行分析，从而为二阶收敛性提供严格证明。
• 对于泡利方程，该方法对旋量波函数及 $\vec{\sigma} \cdot \operatorname{curl} A$ 项采用分片常数近似，确保一致性和规范不变性。
• 该方法依赖于将规范势 $A$ 近似为 Whitney 一形式，这使得在恒定磁场下可实现精确表示，从而实现最优收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为薛定谔方程的有限元方法实现二阶收敛，同时保持离散规范不变性？
• RQ2 当标准有限元空间在局部 U(1) 变换下不具不变性时，如何在离散设置中保持规范不变性？
• RQ3 依赖于规范势的有限元空间与范数在实现更高阶收敛中起到何种作用？
• RQ4 该方法能否推广至含自旋的泡利方程，同时保持规范不变性与二阶收敛性？
• RQ5 当使用 Whitney 形式近似规范势 $A$ 时，在何种条件下不会降低收敛速率？

主要发现

• 所提方法在 H^1 范数下实现二阶收敛，在 L^2 范数下对薛定谔方程也实现二阶收敛，相较于标准 Galerkin 方法仅具 h 阶收敛，是显著改进。
• 通过将波函数规范变换修改为使用节点插值，实现了离散规范不变性，确保变换后的解仍位于有限元空间中。
• 利用所有维度单形上的范数对依赖于规范势的有限元空间进行分析，为证明二阶收敛性提供了理论基础。
• 在恒定磁场下，使用 Whitney 一形式对 $A$ 的近似是精确的，因此可实现完整的二阶收敛，而无需因势近似引入额外误差。
• 该方法可推广至含自旋的泡利方程，通过仔细离散化 $\vec{\sigma} \cdot \operatorname{curl} A$ 项及标量势（分别采用分片常数与节点近似），保持二阶收敛性与规范不变性。
• 该方法通过确保离散双线性形式在规范变换下的一致性，避免了变分罪过，即使在使用节点插值时亦成立，前提是分析在正确的函数空间框架下进行。