[论文解读] Second order linear differential equations with analytic uncertainties: stochastic analysis via the computation of the probability density function

Marc Jornet, Julia Calatayud+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2019

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 52被引用 10

一句话总结

本论文提出了一种针对具有解析随机系数的二阶线性常微分方程的新型随机分析框架，采用弗罗贝尼乌斯方法计算均方收敛的幂级数解。通过基于期望的近似方法推导解的概率密度函数，证明了点态收敛与总变差收敛，且在利普希茨条件下收敛速率呈指数级。此外，实现了基于控制变量的蒙特卡洛算法，以实现高效的密度估计。

ABSTRACT

This paper concerns the analysis of random second order linear differential equations. Usually, solving these equations consists of computing the first statistics of the response process, and that task has been an essential goal in the literature. A more ambitious objective is the computation of the solution probability density function. We present advances on these two aspects in the case of general random non-autonomous second order linear differential equations with analytic data processes. The Fr\\"obenius method is employed to obtain the stochastic solution in the form of a mean square convergent power series. We demonstrate that the convergence requires the boundedness of the random input coefficients. Further, the mean square error of the Fr\\"obenius method is proved to decrease exponentially with the number of terms in the series, although not uniformly in time. Regarding the probability density function of the solution at a given time, we rely on the law of total probability to express it in closed-form as an expectation. For the computation of this expectation, a sequence of approximating density functions is constructed by reducing the dimensionality of the problem using the truncated power series of the fundamental set. We prove several theoretical results regarding the pointwise convergence of the sequence of density functions and the convergence in total variation. The pointwise convergence turns out to be exponential under a Lipschitz hypothesis. As the density functions are expressed in terms of expectations, we propose a symbolic Monte Carlo sampling algorithm for their estimation. This algorithm is implemented and applied on several numerical examples designed to illustrate the theoretical findings of the paper.

研究动机与目标

• 将具有解析随机系数的二阶线性常微分方程中的不确定性量化研究，从一阶统计量推进至更高阶的统计表征。
• 计算在给定时刻解过程的概率密度函数（PDF），以提供比均值与方差更全面的随机表征。
• 开发一种数值高效且理论基础坚实的算法，利用带方差缩减的蒙特卡洛采样来估计解的PDF。
• 为从截断幂级数导出的近似密度函数序列建立理论收敛保证——包括点态收敛与总变差收敛。
• 解决当底层随机过程表现出不连续性或密度估计器方差过高时，估计PDF所面临的计算挑战。

提出的方法

• 在均方意义下应用弗罗贝尼乌斯方法，构建随机二阶常微分方程的随机幂级数解。
• 通过截断幂级数解，获得有限维近似 $X^N(t)$，其概率密度函数可解析表示为期望形式：$f_{X^N(t)}(x) = \mathbb{E}[Z^N(x,t)]$。
• 利用全期望公式，将解的PDF表示为对随机初值条件与系数的期望。
• 通过截断基本解集的维度，构建一系列近似密度函数。
• 实施原始蒙特卡洛算法以估计 $f_{X^N(t)}(x)$，无需平滑处理即可处理不连续性与不可微性。
• 应用控制变量方法，降低蒙特卡洛估计器的采样方差，从而提高计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过在随机系数与初始条件上的期望运算，以闭式表达计算随机二阶线性常微分方程解的概率密度函数？
• RQ2 从截断弗罗贝尼乌斯级数导出的近似密度函数序列的理论收敛性质为何？
• RQ3 在何种条件下，密度近似点态收敛可达到指数级速度？
• RQ4 当底层随机过程非光滑或具有重尾行为时，如何高效且准确地应用蒙特卡洛采样以估计解的PDF？
• RQ5 控制变量等方差缩减技术在多大程度上可提升解PDF蒙特卡洛估计的效率？

主要发现

• 当随机系数在 $L^2(\Omega)$ 中有界时，弗罗贝尼乌斯方法可产生均方收敛的幂级数解。
• 弗罗贝尼乌斯近似均方误差随项数增加呈指数级下降，尽管在时间上并非一致收敛。
• 在适当条件下，近似密度函数序列 $f_{X^N(t)}(x)$ 点态收敛于真实解PDF $f_{X(t)}(x)$，条件涉及Nemytskii算子。
• 当底层随机过程满足利普希茨条件时，可实现密度近似的指数级点态收敛。
• 点态收敛蕴含总变差收敛与 $L^1(\mathbb{R})$ 收敛，且与赫林格距离收敛等价。
• 控制变量方法显著降低了蒙特卡洛估计器的采样方差，从而在不增加样本数的前提下提升了计算效率。