[论文解读] Second order models for optimal transport and cubic splines on the Wasserstein space

Jean‐David Benamou, Thomas Gallouët+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 33被引用 24

一句话总结

本文通过将三次样条插值推广至概率测度的Wasserstein空间，提出了最优传输的二阶模型。该方法将问题表述为带有熵正则化的多边际最优传输的松弛形式，并结合半离散方法，实现了Wasserstein样条的数值计算，具有收敛性保证，并在1D和2D示例中展示了优异性能。

ABSTRACT

On the space of probability densities, we extend the Wasserstein geodesics to the case of higher-order interpolation such as cubic spline interpolation. After presenting the natural extension of cubic splines to the Wasserstein space, we propose a simpler approach based on the relaxation of the variational problem on the path space. We explore two different numerical approaches, one based on multi-marginal optimal transport and entropic regularization and the other based on semi-discrete optimal transport.

研究动机与目标

• 将三次样条插值从黎曼流形推广至概率测度的Wasserstein空间。
• 基于在Wasserstein度量下最小化路径加速度，提出更高阶样条的变分公式。
• 提供可数值求解的Wasserstein样条计算方法，基于多边际最优传输。
• 比较并实现两种数值方法：基于Sinkhorn算法的熵正则化方法与基于Laguerre单元的半离散最优传输方法。
• 在1D和2D数据上验证该方法，展示其收敛性与计算可行性。

提出的方法

• 将Wasserstein空间中的三次样条表述为在概率测度空间中路径加速度平方的最小化问题。
• 将变分问题松弛为在离散时间点上对位置和速度施加边际约束的多边际最优传输问题。
• 对多边际OT问题应用熵正则化，将其转化为可通过Sinkhorn算法求解的严格凸优化问题。
• 利用张量化核结构降低计算成本，在N个时间步长和Nx个网格点下，实现2D中的O(N Nx⁴)复杂度。
• 替代方法通过离散化空间域并计算Laguerre单元来求解半离散OT问题。
• 采用基于坐标的哈密顿形式和Christoffel符号，推导测地线与三次样条动力学的欧拉-拉格朗日方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将三次样条插值从黎曼流形推广至无限维的Wasserstein空间概率测度？
• RQ2 在Wasserstein空间中，更高阶样条的恰当变分公式是什么？如何将其松弛以实现数值计算？
• RQ3 如何将熵正则化与半离散方法适配，以高效计算Wasserstein样条？
• RQ4 所提出的数值方案具有怎样的收敛性质与计算复杂度？
• RQ5 在1D和2D测试案例中，熵方法与半离散方法在精度与效率方面如何比较？

主要发现

• 所提出的Wasserstein空间中三次样条问题的松弛形式，等价于具有连续严格凸代价函数的多边际最优传输问题。
• 熵正则化方法可通过Sinkhorn算法实现高效计算，2D下复杂度为O(N Nx⁴)，并利用张量化核结构提升效率。
• 半离散方法通过计算Laguerre单元求解传输问题，为熵正则化提供了一种具有不同数值特性的替代方案。
• 1D与2D的数值实验表明，所提方法在计算Wasserstein样条方面具有可行性与收敛性。
• 理论分析证实，在较弱条件下，松弛问题与原始变分问题具有相同解，且最小化解的存在性与唯一性已得到证明。
• 该方法成功将变分样条推广至Wasserstein空间，为成像与形状分析中的时间序列插值提供了新框架。