[论文解读] Second order statistics characterization of Hawkes processes and non-parametric estimation

Emmanuel Bacry, Jean–François Muzy|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 17被引用 28

一句话总结

本文证明了多变量霍克斯过程的二阶统计量通过一组维纳-霍普夫积分方程的唯一解，完全刻画了底层的核矩阵。作者提出了一种基于高斯求积法数值反演该方程组的非参数估计方法，实现了对带标记和多变量霍克斯过程的快速、可扩展估计，并在具有幂律核和非正核的金融与地震数据上进行了验证。

ABSTRACT

We show that the jumps correlation matrix of a multivariate Hawkes process is related to the Hawkes kernel matrix through a system of Wiener-Hopf integral equations. A Wiener-Hopf argument allows one to prove that this system (in which the kernel matrix is the unknown) possesses a unique causal solution and consequently that the second-order properties fully characterize a Hawkes process. The numerical inversion of this system of integral equations allows us to propose a fast and efficient method, which main principles were initially sketched in [Bacry and Muzy, 2013], to perform a non-parametric estimation of the Hawkes kernel matrix. In this paper, we perform a systematic study of this non-parametric estimation procedure in the general framework of marked Hawkes processes. We describe precisely this procedure step by step. We discuss the estimation error and explain how the values for the main parameters should be chosen. Various numerical examples are given in order to illustrate the broad possibilities of this estimation procedure ranging from 1-dimensional (power-law or non positive kernels) up to 3-dimensional (circular dependence) processes. A comparison to other non-parametric estimation procedures is made. Applications to high frequency trading events in financial markets and to earthquakes occurrence dynamics are finally considered.

研究动机与目标

• 建立多变量霍克斯过程的二阶结构与其核矩阵之间的一一对应关系。
• 开发一种不假设核函数参数形式的非参数估计方法。
• 将该方法扩展至具有分段常数标记函数的带标记霍克斯过程。
• 系统分析估计误差、参数选择及收敛性特征。
• 在真实世界数据（包括高频交易与地震序列）上展示该方法的有效性。

提出的方法

• 该方法依赖于将核矩阵 Φ(t) 与跳跃相关矩阵 g(t) 联系起来的维纳-霍普夫积分方程组，证明其具有唯一的因果解。
• 通过高斯求积法实现维纳-霍普夫方程组的数值反演，从而实现快速且稳定的非参数估计。
• 对于带标记霍克斯过程，该方法被调整为在标记为分段常数时，联合估计核矩阵与标记函数矩阵。
• 估计过程分步实施，并采用启发式方法选择带宽和正则化参数，以控制偏差与方差。
• 将该方法与现有非参数方法（如EM算法和Lasso正则化字典基估计）进行比较。
• 推导出理论误差界，显示偏差为 O(h^β) 阶，方差为 O(1/(Rh)) 阶，其中 h 为带宽，R 为条件事件数。

实验结果

研究问题

• RQ1 多变量霍克斯过程的二阶相关结构是否能唯一确定其核矩阵？
• RQ2 是否存在一种稳定且高效的非参数方法，可在不假设参数形式的前提下估计霍克斯核？
• RQ3 该方法在具有分段常数标记的带标记霍克斯过程中表现如何？
• RQ4 非参数估计过程的收敛性与误差特性为何？关键参数应如何选择？
• RQ5 与现有非参数方法（如基于EM或Lasso的估计）相比，该方法在准确性和可扩展性方面表现如何？

主要发现

• 多变量霍克斯过程的二阶结构通过一组维纳-霍普夫积分方程的唯一解，完全刻画了其核矩阵。
• 在霍尔德连续性和核正则性假设下，所提出的非参数估计方法达到偏差 O(h^β) 阶和方差 O(1/(Rh)) 阶。
• 该方法具有可扩展性和高效性，能够处理大规模数据集，已在一维和三维过程（包括金融与地震数据）中得到验证。
• 在EUREX市场高频交易数据上，估计得到的核函数可良好拟合幂律函数，支持模型的实证有效性。
• 对于具有分段常数标记的带标记霍克斯过程，该方法可联合估计核矩阵与标记函数矩阵，且精度相当。
• 在核函数非局部化且平滑（如幂律核）的场景下，该方法优于基于EM和Lasso正则化的估计方法，此时稀疏性假设不成立。