[论文解读] Second order structures for sprays and connections on Frechet manifolds

Mansour Aghasi, Bahari, A. R.+3 more|ArXiv.org|Oct 29, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文将二阶几何结构——Christoffel丛、联络、喷射、Hessian结构和分解——推广至弗雷歇流形，这些流形是巴拿赫流形的投影极限。通过用巴拿赫空间值双线性映射的投影极限替代问题重重的无穷维线性结构，作者建立了这些结构之间的一一对应关系，并证明了在这些流形上二阶常微分方程的存在性与唯一性定理，从而使得在非巴拿赫设定下研究测地线与平行移动成为可能。

ABSTRACT

Ambrose, Palais and Singer \cite{Ambrose} introduced the concept of second order structures on finite dimensional manifolds. Kumar and Viswanath \cite{Kumar} extended these results to the category of Banach manifolds. In the present paper all of these results are generalized to a large class of Frechet manifolds. It is proved that the existence of Christoffel and Hessian structures, connections, sprays and dissections are equivalent on those Frechet manifolds which can be considered as projective limits of Banach manifolds. These concepts provide also an alternative way for the study of ordinary differential equations on non-Banach infinite dimensional manifolds. Concrete examples of the structures are provided using direct and flat connections.

研究动机与目标

• 将二阶几何结构（如联络、喷射和Hessian结构）从有限维和巴拿赫流形推广至一类广泛的弗雷歇流形。
• 通过弗雷歇空间的投影极限，解决弗雷歇几何中的基础性问题，特别是一般线性群 $GL(\mathbb{F})$ 和 $L^2(\mathbb{F},\mathbb{F})$ 的病态行为，这些在弗雷歇设定下表现不佳。
• 在投影极限弗雷歇流形上，建立Christoffel结构、联络、喷射、Hessian结构与分解之间的一一对应关系。
• 为在非巴拿赫无穷维流形上研究常微分方程（包括测地线与平行移动）提供一个框架。
• 通过在右端项上施加 $k$-Lipschitz 条件，证明弗雷歇空间上二阶常微分方程解的存在性与唯一性。

提出的方法

• 在以巴拿赫流形的投影极限为模型的弗雷歇流形上构造广义切丛结构，用 $\mathcal{H}_0(\mathbb{F}) = \varprojlim GL(\mathbb{E}_i)$ 替代 $GL(\mathbb{F})$，其中 $\mathcal{H}_0(\mathbb{F})$ 是相容线性自同构的拓扑群。
• 通过巴拿赫空间值双线性映射的投影极限 $B_k^n: H^n(\mathbb{S}^1) \times H^n(\mathbb{S}^1) \to H^{n-2k}(\mathbb{S}^1)$ 定义Christoffel丛，这些映射作为线性联络的系数。
• 在微分同胚群 $D = \mathrm{Diff}(\mathbb{S}^1)$ 上引入广义线性联络 $\nabla_k = \varprojlim \nabla_k^i$，利用希尔伯特空间联络的投影极限。
• 将二阶常微分方程 $x'' = \Phi(t,x,x')$ 化为一阶系统 $z' = \tilde{\Phi}(t,z)$，其中 $z = (x,y)$，并通过 $k$-Lipschitz 条件确保解的存在性与唯一性。
• 证明在每个巴拿赫分量 $H^n(\mathbb{S}^1)$ 上的解在投影极限下相容，因此 $x = \varprojlim x_i$ 是弗雷歇空间上定义良好的解。
• 利用弗雷歇空间的半范数拓扑和对 $p_i(\tilde{\Phi}(t,z_0))$ 的一致有界性，控制解区间 $I = [t_0 - a, t_0 + a]$，其中 $a = \min\{\tau, 1/(M + k)\}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非巴拿赫的弗雷歇流形上一致地定义二阶几何结构，如联络、喷射和Hessian结构？
• RQ2 是否存在一种方法可以克服在弗雷歇设定下 $GL(\mathbb{F})$ 和 $L^2(\mathbb{F},\mathbb{F})$ 表现不佳的问题，从而用于定义几何结构？
• RQ3 在有限维与巴拿赫情形下已知的Christoffel结构、联络、喷射与Hessian结构之间的等价性，是否可推广至投影极限弗雷歇流形？
• RQ4 能否在适当的Lipschitz型条件下，证明弗雷歇空间上二阶常微分方程存在唯一局部解？
• RQ5 该理论能否应用于具体的无穷维流形，如圆周的微分同胚群 $\mathrm{Diff}(\mathbb{S}^1)$？若能，测地线具有何种性质？

主要发现

• 在投影极限弗雷歇流形上，Christoffel、Hessian、联络、喷射与分解结构的存在性等价，推广了有限维与巴拿赫流形的结果。
• 广义结构群 $\mathcal{H}_0(\mathbb{F}) = \varprojlim GL(\mathbb{E}_i)$ 提供了一个定义良好且光滑的李群结构，替代了弗雷歇空间中表现不佳的 $GL(\mathbb{F})$。
• 对于微分同胚群 $D = \mathrm{Diff}(\mathbb{S}^1)$，线性联络 $\nabla_k = \varprojlim \nabla_k^i$ 存在且唯一，其测地线满足 $u_t = B_k(u,u)$。
• 二阶常微分方程 $x'' = \Phi(t,x,x')$ 在时间区间 $I = [t_0 - a, t_0 + a]$ 上存在唯一解，其中 $a = \min\{\tau, 1/(M + k)\}$，$M$ 为初始数据与 $\Phi$ 的半范数的一致有界常数。
• 在每个巴拿赫分量 $H^n(\mathbb{S}^1)$ 上的解在投影极限下相容，因此全局解 $x = \varprojlim x_i$ 定义良好，并满足 $x'' = \Phi(t,x,x')$ 在区间 $I$ 上。
• 对于满足 $n \geq 2k+1$ 的 $H^n(\mathbb{S}^1)$-值解，最大存在时间 $T_n$ 对所有 $n \geq 2k+1$ 保持不变，即 $T_n = T_{2k+1}$，从而保证了投影系统中的一致性。