[论文解读] Secondary Stiefel-Whitney class and diffeomorphisms of rational and ruled symplectic 4-manifolds

Vsevolod Shevchishin|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文引入了次级Stiefel-Whitney类 $\tilde{w}_2$ 作为有理与规则辛4-流形上同伦平凡微分同胚的不变量。证明了此类辛同胚微分同痕于恒等映射当且仅当 $\tilde{w}_2$ 消去，从而通过微分同痕群结构对辛结构的形变类提供了完整分类。

ABSTRACT

We introduce the secondary Stiefel-Whitney class $ ilde w_2$ of homotopically trivial diffeomorphisms and show that a homotopically trivial symplectomorphism of a ruled 4-manifold is isotopic to identity if and only if the class $ ilde w_2$ vanishes. Using this, we give a detailed description of the combinatorial structure of the diffeotopy group of ruled symplectic 4-manifolds $X$, either minimal or blown-up, and its action on the homology and homotopy groups $H_2(X,\zz)$, $π_1(X)$, and $π_2(X)$.

研究动机与目标

• 通过微分同胚不变量对有理与规则4-流形上的辛结构形变类进行分类。
• 为4-流形上同伦平凡微分同胚定义并研究次级Stiefel-Whitney类 $\tilde{w}_2$。
• 描述辛4-流形微分同痕群在同调与同伦群上的组合结构。
• 在 $\tilde{w}_2 = 0$ 的微分同痕类与辛结构形变类之间建立双射。
• 确定微分同痕群对极小与爆破后的规则流形上 $H_2(X,\mathbb{Z})$、$\pi_1(X)$ 与 $\pi_2(X)$ 的作用。

提出的方法

• 为在 $H_\bullet(Z,\mathbb{Z}_2)$ 上平凡作用的微分同胚 $F: Z \to Z$ 引入次级Stiefel-Whitney类 $\tilde{w}_2(F) \in H^1(Z,\mathbb{Z}_2)$。
• 将类 $\tilde{w}_2$ 应用于规则与有理辛4-流形的辛同胚，特别关注同伦平凡的情形。
• 利用吹胀与形变对4-流形上辛结构的分类，建立在Auroux的已知结果之上。
• 分析微分同胚对 $H_2(X,\mathbb{Z})$ 与 $H_2(X,\mathbb{R})$ 中正锥的作用，利用洛伦兹型交比形式。
• 应用反射群与Coxeter-Weyl群来描述保持正锥的 $H_2(X,\mathbb{Z})$ 自同构群。
• 在有理情形下建立微分同痕群与 $\mathrm{O}_+(1,2,\mathbb{Z})$ 的同构关系，在规则情形下建立与相关反射群的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 次级Stiefel-Whitney类 $\tilde{w}_2$ 在确定辛同胚的微分同痕平凡性中起什么作用？
• RQ2 有理或规则辛4-流形的微分同痕群如何作用于 $H_2(X,\mathbb{Z})$、$\pi_1(X)$ 与 $\pi_2(X)$？
• RQ3 是否可以通过 $\tilde{w}_2 = 0$ 的同伦平凡微分同胚的同痕类群对辛结构的形变类进行分类？
• RQ4 极小与爆破后的规则4-流形的微分同痕群结构如何？
• RQ5 微分同痕群对 $H_2(X,\mathbb{Z})$ 的作用是否由反射生成，且在有理情形下是否与 $\mathrm{O}_+(1,2,\mathbb{Z})$ 一致？

主要发现

• 若 $F$ 是规则或有理辛4-流形上的同伦平凡辛同胚，则其微分同痕于恒等映射当且仅当 $\tilde{w}_2(F) = 0$。
• 对任意 $w \in H^1(X,\mathbb{Z}_2)$，存在一个辛同胚 $F$ 满足 $\tilde{w}_2(F) = w$，且其在 $\pi_1(X)$、$\pi_2(X)$ 与 $H_2(X,\mathbb{Z})$ 上的作用平凡。
• 有理4-流形上辛同胚的微分同痕类完全由其在 $H_2(X,\mathbb{Z})$ 上的作用决定。
• 在固定上同调类下，$X$ 上辛结构的形变类与满足 $\tilde{w}_2 = 0$ 的同伦平凡微分同胚的同痕类群 $\Gamma_\blacksquare$ 之间存在自然双射。
• 当 $X = (Y \times S^2)\# \overline{\mathbb{C}P^2}$ 时，微分同痕群通过一个与 $\mathrm{O}_+(1,2,\mathbb{Z})$ 同构的反射群作用于 $H_2(X,\mathbb{Z})$。
• $\widetilde{\Gamma}_H$（保持正锥的微分同胚同痕类群）同构于 $\mathrm{O}_+(1,2,\mathbb{Z})$，且由反射 $s_1, s_2, s_0^*$ 生成。