[论文解读] Secretary Problems with Non-Uniform Arrival Order

Thomas Keßelheim, Robert Kleinberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2015

Optimization and Search Problems参考文献 27被引用 11

一句话总结

本文引入了宽松的随机性假设——具体为$(p,q,u)$-块独立性和$(k,\delta)$-均匀诱导排序性质——用于秘书问题，表明即使在这些条件下，仍能以接近经典$1/e$的成功率实现最大值的常数概率最优选择。结果表明，此类分布远比均匀随机更广泛，包含许多自然的非均匀分布。

ABSTRACT

For many online problems, it is known that the uniform arrival order enables the design of algorithms with much better performance guarantees than under worst-case. The quintessential example is the secretary problem. If the sequence of elements is presented in uniformly random order there is an algorithm that picks the maximum value with probability 1/e, whereas no non-trivial performance guarantee is possible if the elements arrive in worst-case order. This work initiates an investigation into relaxations of the random-ordering hypothesis in online algorithms, by focusing on the secretary problems. We present two sets of properties of distributions over permutations as sufficient conditions, called the block-independence property and uniform-induced-ordering property. We show these two are asymptotically equivalent by borrowing some techniques from the approximation theory. Moreover, we show they both imply the existence of secretary algorithms with constant probability of correct selection, approaching the optimal constant 1/e in the limit. We substantiate our idea by providing several constructions of distributions that satisfy block-independence. We also show that Θ(log log n) is the minimum entropy of any permutation distribution that permits constant probability of correct selection in the secretary problem with n elements. While our block-independence condition is sufficient for constant probability of correct selection, it is not necessary; however, we present complexity-theoretic evidence that no simple necessary and sufficient criterion exists. Finally, we explore the extent to which the performance guarantees of other algorithms are preserved when one relaxes the uniform random ordering assumption, obtaining a positive result for Kleinberg's multiple-choice secretary algorithm and a negative result for the weighted bipartite matching algorithm of Korula and Pal.

研究动机与目标

• 研究在线算法（尤其是秘书问题）在不依赖均匀随机到达顺序的前提下，是否仍能保持强性能保证。
• 识别出自然的、非均匀的分布特性，这些特性仍允许在秘书问题中实现常数概率的最优选择。
• 探索任何排列分布为支持秘书问题中常数概率正确选择所需的最小熵。
• 评估其他在线算法（如多选择秘书问题、加权二分图匹配）在宽松随机性假设下的性能保证是否依然成立。
• 确定是否存在简单且充分的s-可接受性条件；若不存在，则提供复杂性理论证据证明其非存在性。

提出的方法

• 引入$(p,q,\delta)$-块独立性性质（BIP），要求任意$p$个不同项目的到达时间联合分布，在粗粒度下与$p$个独立同分布的均匀样本$\delta$-接近。
• 引入$(k,\delta)$-均匀诱导排序性质（UIOP），要求每个$k$元组不同项目的相对顺序$\delta$-接近均匀分布。
• 利用逼近理论技术证明BIP与UIOP的渐近等价性，表明当$k$充分大且$\delta$足够小时，UIOP蕴含BIP。
• 使用概率方法构造具有特定边概率和权重的随机二分图，以分析在宽松假设下的算法性能。
• 应用切尔诺夫不等式和联合界，证明以高概率，所构造的排列分布满足所需性质。
• 通过最坏情况实例构造，分析现有算法（Kleinberg的多选择秘书问题和Korula-Pál的加权二分图匹配）在新假设下的性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 在到达顺序非均匀随机时，哪些排列分布的自然性质足以保证秘书问题中常数概率的正确选择？
• RQ2 是否可利用$(k,\delta)$-均匀诱导排序性质或$(p,q,\delta)$-块独立性性质，推导出接近$1/e$的常数成功率？
• RQ3 在$n$个元素的秘书问题中，仍能支持常数概率正确选择的任何排列分布的最小熵是多少？
• RQ4 所提出的性质是否为s-可接受性所必需，或可进一步放宽？
• RQ5 现有在线算法在宽松随机性假设下具有多大程度的鲁棒性，特别是在性能保证方面？

主要发现

• $(p,q,\delta)$-块独立性和$(k,\delta)$-均匀诱导排序性质渐近等价，且二者均蕴含存在常数成功率的秘书算法，该成功率随$\delta \to 0$和$k \to \infty$趋近于$1/e$。
• 本文证明，$\Theta(\log \log n)$是任何排列分布为支持$n$元素秘书问题中常数概率正确选择所需的最小熵。
• $(k,\delta)$-均匀诱导排序性质蕴含$s$-可接受性（当$k \geq 3$时），且当$k \to \infty$和$\delta \to 0$时，成功率趋近于$1/e$。
• 块独立性性质对$s$-可接受性是充分但非必要的，且复杂性理论证据表明不存在简单的必要充分条件。
• Kleinberg的多选择秘书算法在$(k,\delta)$-UIOP假设下仍保持良好性能，而Korula-Pál的加权二分图匹配算法在相同条件下无法维持性能保证。
• 通过构造一个每侧有$n$个顶点的随机二分图，表明Korula-Pál算法在$(k,\delta)$-UIOP下仅能达到$O(\log n)$的期望值，远低于最优的$\Omega(n)$，从而对该算法得出负面结果。