[论文解读] Section problems for configuration spaces of surfaces

Lei Chen|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 3

一句话总结

该论文对曲面上有序与无序配置空间纤维丛的连续截面进行了分类，证明了在 $\mathbb{R}^2$（$n>3$）和 $S^2$（$n>4$）上，截面要么是'在无穷远处添加一个点'，要么是'在 $x_k$ 附近添加一个点'，而对于亏格 $g>1$ 的曲面（$n>1$）或当 $n=2$ 时的 $S^2$，则不存在截面。该分类依赖于同伦理论分析以及瑟斯顿对曲面微分同胚分类中的典范约化系统。

ABSTRACT

In this paper we give a close-to-sharp answer to the basic questions: When is there a continuous way to add a point to a configuration of $n$ ordered points on a surface $S$ of finite type so that all the points are still distinct? When this is possible, what are all the ways to do it? More precisely, let PConf$_n(S)$ be the space of ordered $n$-tuple of distinct points in $S$. Let $f_n(S): ext{PConf}_{n+1}(S) o ext{PConf}_n(S)$ be the map given by $f_n(x_0,x_1,\ldots ,x_n):=(x_1,\ldots ,x_n)$. We classify all continuous sections of $f_n$ up to homotopy by proving the following. 1. If $S=\mathbb{R}^2$ and $n>3$, any section of $f_{n}(S)$ is either "adding a point at infinity" or "adding a point near $x_k$". (We define these two terms in Section 2.1; whether we can define "adding a point near $x_k$" or "adding a point at infinity" depends in a delicate way on properties of $S$. ) 2. If $S=S^2$ a $2$-sphere and $n>4$, any section of $f_{n}(S)$ is "adding a point near $x_k$"; if $S=S^2$ and $n=2$, the bundle $f_n(S)$ does not have a section. (We define this term in Section 3.2) 3. If $S=S_g$ a surface of genus $g>1$ and for $n>1$, we give an easy proof that the bundle $f_{n}(S)$ does not have a section.

研究动机与目标

• 对有限类型曲面 $S$ 上的遗忘纤维丛 $f_n(S): \text{PConf}_{n+1}(S) \to \text{PConf}_n(S)$ 的所有连续截面进行分类。
• 确定此类截面存在的条件及其同伦类，特别是区分'在无穷远处添加一个点'与'在 $x_k$ 附近添加一个点'的类型。
• 通过商纤维丛 $F_n(S)$ 将分类推广至无序配置空间。
• 利用基本群和上同调技术解决截面存在的拓扑障碍，尤其是针对亏格 $g>1$ 的曲面。

提出的方法

• 利用瑟斯顿对曲面微分同胚分类中的典范约化系统，分析单值性与截面障碍。
• 应用同伦理论技术，对截面按同伦类进行分类，区分'在无穷远处添加'与'在 $x_k$ 附近添加'的类型。
• 分析基本群与上同调上的诱导映射，特别是 $f_*: \pi_1(\text{PConf}_n(S)) \to \pi_1(S)$ 和 $f^*: H^1(S) \to H^1(\text{PConf}_n(S))$。
• 利用庞加莱对偶性与上积结构，检测 $S_g \times S_g$ 中对角类 $[\triangle]$ 的非平凡拉回。
• 将问题约化为 $f_*$ 的像是否通过遗忘映射 $p_{i*}$ 因子化或是否为循环群，随后通过上同调进行反证法。
• 利用已知的 braid 群与配置空间稳定性结果，同时通过 lantern 关系与辛基引入新工具。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $S = \mathbb{R}^2$ 且 $n > 3$ 时，纤维丛 $f_n(S): \text{PConf}_{n+1}(S) \to \text{PConf}_n(S)$ 是否存在连续截面？
• RQ2 当 $S = S^2$ 时，截面在什么条件下存在？对于 $n=2$、$n>4$ 和 $n=3$，其同伦类型是什么？
• RQ3 当 $g > 1$ 且 $n > 1$ 时，纤维丛 $f_n(S_g)$ 是否存在截面？
• RQ4 有序配置空间纤维丛的截面如何通过 $\Sigma_n$ 商化与无序情形相关联？
• RQ5 多截面纤维丛 $\text{PConf}_{m}(S - \{x_1,\dots,x_n\})/\Sigma_m \to \text{PConf}_{n+m}(S)/\Sigma_m$ 的截面同伦类是什么？

主要发现

• 当 $S = \mathbb{R}^2$ 且 $n > 3$ 时，$f_n(S)$ 的每个连续截面同伦于'在无穷远处添加一个点'或'在某个 $x_k$ 附近添加一个点'（$1 \leq k \leq n$）之一。
• 当 $S = S^2$ 且 $n = 2$ 时，纤维丛 $f_n(S)$ 不存在连续截面。
• 当 $S = S^2$ 且 $n > 4$ 时，$f_n(S)$ 的每个连续截面同伦于'在某个 $x_k$ 附近添加一个点'（$k$ 为某值）之一。
• 当 $S = S_g$ 且 $g > 1$ 且 $n > 1$ 时，纤维丛 $f_n(S)$ 不存在连续截面，该结论通过上同调与基本群分析的反证法得出。
• 在无序情形下，$F_n(\mathbb{R}^2)$ 的截面仅存在'在无穷远处添加一个点'的类型（$n > 3$），而 $F_n(S^2)$ 在 $n = 2,3$ 或 $n > 4$ 时无截面。
• 亏格 $g > 1$ 的证明依赖于：任何截面诱导出映射 $f: \text{PConf}_n(S_g) \to S_g$，其对角类拉回导致矛盾，除非 $f_*$ 的像为循环群或可经遗忘映射因子化，而这两者在上同调约束下均不成立。