[论文解读] Sectoriality and essential spectrum of non symmetric graph Laplacians

Colette Anné, Marwa Balti+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文確立了在何種條件下，定義於有向加權圖上的非自伴拉普拉斯算子為扇形算子且其本質譜為空。透過引入一個自伴對稱化算子並應用 Lewis 的比較定理，本文證明當無窮遠處的 Cheeger 常數為正，或在幾何增長條件（例如邊權迅速增加）下，對稱化算子的譜底趨於無窮時，非自伴拉普拉斯算子的本質譜為空。

ABSTRACT

We consider a non self-adjoint Laplacian on a directed graph with non symmetric edge weights. We give necessary conditions for this Laplacian to be sectorial. We introduce a special self-adjoint operator and compare its essential spectrum with that of the non self-adjoint Laplacian considered.

研究动机与目标

• 確立非自伴圖拉普拉斯算子為扇形算子的必要與充分條件。
• 比較非自伴拉普拉斯算子與其實部（一自伴算子）的本質譜。
• 將先前關於無本質譜結果推廣至無窮遠處 Cheeger 常數為零的圖。
• 提供一個幾何準則——透過 Cheeger 常數與權重增長——以確保非對稱拉普拉斯算子譜的離散性。
• 將先前關於重尾圖與快速分支圖的結果推廣至非對稱、加權的設定。

提出的方法

• 在邊權非對稱性上引入扇形性條件（假設 γ）：存在某個 M > 0，使得 ∑_y |b(x,y)−b(y,x)| ≤ M m(x)。
• 定義對稱化算子 S = (∆ + ∆*)/2，其為自伴且下有界。
• 在假設 (β)（每個頂點的入/出導電率相等）下，利用 Green 公式，將 ∆ 的數值域與其實部關聯。
• 應用 Lewis 的比較定理：若對所有 f 属於定義域，均有 Re(∆f,f) ≥ (Sf,f)，則 σ_ess(∆) ⊆ {λ ∈ ℂ : Re(λ) ≥ inf σ_ess(S)}。
• 建立類似 Cheeger 的不等式：λ₁(S_D_Ω) ≥ h²(Ω)/(8M_Ω)，將譜間隔與 Cheeger 常數連結。
• 證明若 h²(G_k\G_n)/(8M_{G_k\G_n}) ≥ c_n 且 lim_n c_n = ∞，則 σ_ess(S) = ∅，進而推出 σ_ess(∆) = ∅。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種幾何條件下，非自伴圖拉普拉斯算子為扇形算子？
• RQ2 非自伴圖拉普拉斯算子的本質譜在何時會消失？
• RQ3 非自伴拉普拉斯算子的本質譜與其實部的本質譜有何關係？
• RQ4 即使無窮遠處的 Cheeger 常數為零，是否仍能保證本質譜為空？
• RQ5 邊權的非對稱性在圖拉普拉斯算子的譜性質中扮演何種角色？

主要发现

• 若假設 (γ) 成立，則拉普拉斯算子 ∆ 為扇形算子，即邊權總非對稱性相對於頂點測度均勻有界。
• ∆ 的數值域實部有下界，且虛部均勻有界，因而確保扇形性。
• ∆ 的本質譜包含於半平面 {λ ∈ ℂ : Re(λ) ≥ inf σ_ess(S)} 內，其中 S 為對稱化算子。
• 若對 cofinite 子圖上 S 的譜底趨於無窮（例如因邊權快速增長），則 σ_ess(S) = ∅。
• 在條件 h²(G_k\G_n)/(8M_{G_k\G_n}) ≥ c_n 且 lim_n c_n = ∞ 下，S 與 ∆ 的本質譜皆為空。
• 反例顯示，即使 Cheeger 常數為零，假設 (γ) 對本質譜為空仍為必要條件。