[论文解读] Secular Coefficients and the Holomorphic Multiplicative Chaos

Joseph Najnudel, Elliot Paquette+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 5

一句话总结

该论文在 $N$ 和系数次数 $n$ 均趋于无穷时，为随机酉矩阵的 $N\times N$ 圆形 $\beta$-系综中的长期系数建立了新的极限分布。它引入了一种新颖的随机对象——全纯乘法混沌（HMC），证明了其在索伯列夫空间中的正则性，并表明高斯乘法混沌理论支撑了极限分布，特别是对于 $\beta > 4$ 的情形。该工作解决了长期悬而未决的问题，证明当 $N \to \infty$ 时，中间长期系数在 $\beta = 2$ 情况下趋于零。

ABSTRACT

We study the secular coefficients of $N imes N$ random unitary matrices $U_{N}$ drawn from the Circular $β$-Ensemble, which are defined as the coefficients of $\{z^n\}$ in the characteristic polynomial $\det(1-zU_{N}^{*})$. When $β> 4$ we obtain a new class of limiting distributions that arise when both $n$ and $N$ tend to infinity simultaneously. We solve an open problem of Diaconis and Gamburd by showing that for $β=2$, the middle coefficient tends to zero as $N o \infty$. We show how the theory of Gaussian multiplicative chaos (GMC) plays a prominent role in these problems and in the explicit description of the obtained limiting distributions. We extend the remarkable magic square formula of Diaconis and Gamburd for the moments of secular coefficients to all $β>0$ and analyse the asymptotic behaviour of the moments. We obtain estimates on the order of magnitude of the secular coefficients for all $β> 0,$ and these estimates are sharp when $β\geq 2$. These insights motivated us to introduce a new stochastic object associated with the secular coefficients, which we call Holomorphic Multiplicative Chaos (HMC). Viewing the HMC as a random distribution, we prove a sharp result about its regularity in an appropriate Sobolev space. Our proofs expose and exploit several novel connections with other areas, including random permutations, Tauberian theorems and combinatorics.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的问题：当 $N$ 和 $n = \lfloor N/2 \rfloor$ 均趋于无穷时，研究圆形 $\beta$-系综中长期系数的极限行为。
• 将戴康尼斯与甘布尔的魔术方阵公式推广至所有 $\beta > 0$，并分析长期系数矩的渐近行为。
• 在长期系数与高斯乘法混沌（GMC）之间建立新联系，从而引入全纯乘法混沌（HMC）。
• 在适当的索伯列夫空间中证明HMC的精确正则性结果，为分析这些随机分布的解析性质提供新框架。
• 对所有 $\beta > 0$ 提供长期系数的精确数量级估计，且在 $\beta \geq 2$ 时确认其精确性。

提出的方法

• 推导出适用于所有 $\beta > 0$ 的长期系数 $c_n^{(N)}$ 的 $2k$-阶矩的广义魔术方阵公式，扩展了已知的 $\beta = 2$ 情况下的结果。
• 利用Tauber定理及具有固定行和与列和的整数矩阵的组合分析，研究这些矩的渐近增长。
• 将全纯乘法混沌（HMC）定义为长期系数的极限随机分布，其通过一个对数相关高斯场的正则化指数构造。
• 证明HMC在几乎必然意义下属于某个合适的索伯列夫空间中的分布，通过矩估计和收敛性论证建立其正则性。
• 应用通过多项式逼近函数的方法，并利用特征函数的界，证明长期系数弱收敛于HMC。
• 利用牛顿公式将长期系数表示为幂迹 $\mathrm{Tr}(U_N^k)$ 的多项式，并利用这些迹收敛至复高斯极限的已知结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $N$ 和 $n = \lfloor N/2 \rfloor$ 均趋于无穷时，圆形 $\beta$-系综中长期系数 $c_n^{(N)}$ 的极限分布是什么？
• RQ2 高斯乘法混沌（GMC）理论如何描述长期系数的极限行为，特别是对于 $\beta > 4$ 的情形？
• RQ3 长期系数矩的魔术方阵公式能否从 $\beta = 2$ 推广至所有 $\beta > 0$？
• RQ4 对所有 $\beta > 0$，长期系数 $c_n^{(N)}$ 的精确数量级是什么？该估计在何时是精确的？
• RQ5 是否存在一种新的随机对象能捕捉长期系数的极限行为？其在函数空间中的正则性特征是什么？

主要发现

• 对于 $\beta > 4$，长期系数 $c_n^{(N)}$ 在分布上收敛于由全纯乘法混沌（HMC）描述的极限对象，该对象是某个合适索伯列夫空间中的随机分布。
• 当 $\beta = 2$ 时，中间长期系数 $c_{\lfloor N/2 \rfloor}^{(N)}$ 几乎必然趋于零，当 $N \to \infty$ 时，解决了戴康尼斯与甘布尔提出的一个开放问题。
• 对于一般 $\beta > 0$，$c_n^{(N)}$ 的 $2k$-阶矩等于所有行和与列和均为 $n$ 的 $k \times k$ 非负整数矩阵的数量，将魔术方阵公式推广至所有 $\beta > 0$。
• 获得了 $|c_n^{(N)}|$ 的精确数量级估计：当 $\beta \geq 2$ 时，估计 $\mathbb{E}[|c_n^{(N)}|^2] \asymp n^{(k-1)^2}$ 是精确的，与伯克霍夫多面体体积的已知渐近性一致。
• 证明HMC在索伯列夫空间 $H^s$ 中几乎必然为一个分布，且 $s < -1/2$，其正则性通过矩界和依分布收敛性建立。
• 在长期系数与高斯乘法混沌理论之间建立了明确联系，表明当 $\beta > 4$ 时，极限分布自然由对数相关场关联的GMC测度描述。