[论文解读] Secure Distributed Matrix Computation with Discrete Fourier Transform

Nitish Mital, Cong Ling+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Stochastic Gradient Optimization Techniques被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新颖的基于有限域上离散傅里叶变换（DFT）性质的隐私保护分布式矩阵计算方案，旨在最小化安全分布式矩阵乘法（SDMM）中的上传成本。通过利用单位根的多项式编码，该方法实现了接近最优的上传成本和最优的下载成本，同时确保对任意T个合谋服务器的完美隐私保护，并支持延迟节点容错，可扩展至多矩阵乘法及其他矩阵运算。

ABSTRACT

We consider the problem of secure distributed matrix computation (SDMC), where a extit{user} queries a function of data matrices generated at distributed extit{source} nodes. We assume the availability of $N$ honest but curious computation servers, which are connected to the sources, the user, and each other through orthogonal and reliable communication links. Our goal is to minimize the amount of data that must be transmitted from the sources to the servers, called the extit{upload cost}, while guaranteeing that no $T$ colluding servers can learn any information about the source matrices, and the user cannot learn any information beyond the computation result. We first focus on secure distributed matrix multiplication (SDMM), considering two matrices, and propose a novel polynomial coding scheme using the properties of finite field discrete Fourier transform, which achieves an upload cost significantly lower than the existing results in the literature. We then generalize the proposed scheme to include straggler mitigation, and to the multiplication of multiple matrices while keeping the input matrices, the intermediate computation results, as well as the final result secure against any $T$ colluding servers. We also consider a special case, called computation with own data, where the data matrices used for computation belong to the user. In this case, we drop the security requirement against the user, and show that the proposed scheme achieves the minimal upload cost. We then propose methods for performing other common matrix computations securely on distributed servers, including changing the parameters of secret sharing, matrix transpose, matrix exponentiation, solving a linear system, and matrix inversion, which are then used to show how arbitrary matrix polynomials can be computed securely on distributed servers using the proposed procedure.

研究动机与目标

• 在确保对T个合谋服务器的信息论隐私保护的前提下，最小化安全分布式矩阵计算（SDMC）中的上传成本。
• 将SDMM方案扩展以安全支持多矩阵乘法。
• 在不损害安全性的前提下，实现计算框架中的延迟节点容错。
• 通过安全实现基本操作（如转置、求逆和求解线性系统）来支持任意矩阵多项式计算。
• 在实际通信成本假设下（特别是服务器间通信成本可忽略时），实现上传和下载成本的最优性。

提出的方法

• 该方案基于有限域上的离散傅里叶变换（DFT）进行多项式编码，将输入矩阵编码为分布在N台服务器上的份额。
• 每张矩阵通过一个多项式进行编码，其系数由矩阵元素导出，并在有限域中的N次单位根上求值。
• 编码机制确保任意T个合谋服务器无法通过多项式插值重构原始矩阵，这是由于多项式系数的保密性。
• 通过转换过程将(N, N−T, T)份额转换为(N, N−2T, T)份额，以支持矩阵乘积的安全计算。
• 设计了一种安全计算协议，利用编码份额执行矩阵乘法，中间结果和最终输出通过秘密共享机制保护。
• 通过将其他操作（如转置、求逆和求解线性系统）转化为一系列安全矩阵乘法，该方法可推广至多矩阵乘法及其他操作。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种安全分布式矩阵计算方案，在显著降低上传成本的同时，仍对T个合谋服务器保持完美隐私？
• RQ2 如何利用有限域上的离散傅里叶变换构建多项式编码方案，以在SDMM中最小化上传成本？
• RQ3 尽管先前方案存在已知权衡，是否可能在SDMM中同时实现最优上传和下载成本？
• RQ4 所提出的方案能否扩展至安全计算多矩阵乘法及其他基本矩阵运算？
• RQ5 如何在不引入过多通信开销的前提下，将延迟节点容错机制整合进该方案？

主要发现

• 所提出的基于DFT的多项式编码方案实现了上传成本$ \chi_{UL} = \frac{N}{N-T} $，该值为已知下界，因此在SDMM中达到最优。
• 下载成本同样被最小化至$ \chi_{DL} = \frac{N}{N-T} $，在假设服务器间通信成本可忽略的前提下实现了最优性能。
• 该方案支持多矩阵乘法的安全计算，上传成本极低，显著优于文献中已有成果。
• 在使用自身数据计算的特殊情况下，该方案通过消除用户隐私需求，实现了最小可能的上传成本。
• 该方法通过分组容错机制支持延迟节点容错，但代价是上传成本有所增加。
• 该方案可通过将任意矩阵多项式计算转化为一系列安全矩阵乘法及转置、求逆和求解线性系统等操作，实现安全计算。