[论文解读] Security considerations for Galois non-dual RLWE families

Hao Chen, Kristin Lauter+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Cryptography and Data Security参考文献 17被引用 9

一句话总结

本文研究了伽罗瓦数域中非对偶离散环LWE（RLWE）问题的安全性，针对某些环提出了改进的攻击方法，并构建了一个新的易受攻击的伽罗瓦域家族。通过应用高斯和界，证明了在模数非分歧且为2次单位根分圆环时，由于误差分布与模素数理想的均匀性之间的统计距离可忽略，因此这些环对这些攻击是安全的。

ABSTRACT

We explore further the hardness of the non-dual discrete variant of the Ring-LWE problem for various number rings, give improved attacks for certain rings satisfying some additional assumptions, construct a new family of vulnerable Galois number fields, and apply some number theoretic results on Gauss sums to deduce the likely failure of these attacks for 2-power cyclotomic rings and unramified moduli.

研究动机与目标

• 研究标准分圆构造之外的一般数环中非对偶离散RLWE问题的困难性。
• 通过优化算法技术，提高现有针对弱RLWE实例的攻击效率。
• 构建一个新的无限伽罗瓦数域家族，使其易受这些攻击影响，即使误差分布的相对标准差增大。
• 分析2次单位根分圆环在攻击下的鲁棒性，特别是当模数非分歧且剩余度数较小时。
• 建立RLWE误差分布与模素数理想均匀分布之间统计距离的理论界。

提出的方法

• 通过优化具有特定伽罗瓦结构的数域上的采样与约化过程，改进[9]中的攻击方法。
• 应用有限域上高斯和的数论结果，以界定特征和的大小，从而控制误差分布的畸变。
• 使用标准嵌入和理想格上的离散高斯分布，对环中的RLWE误差分布进行建模。
• 推导出模素数理想约化后的误差分布与均匀分布之间统计距离的上界。
• 利用有限域上的傅里叶分析，特别是迹函数和特征和，分析分布的均匀性。
• 证明定理5.2，该定理给出了统计距离的定量界，其表达式涉及模数大小、环的度数和误差参数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有额外代数结构的特定数环，能否显著降低现有非对偶RLWE攻击的运行时间？
• RQ2 在误差分布的相对标准差增大时，哪些新的伽罗瓦数域家族易受[9]中攻击框架的影响？
• RQ3 高斯和界在多大程度上能防止在非分歧模数下2次单位根分圆环中的攻击成功？
• RQ4 在这些环中，RLWE误差分布模素数理想的统计距离与均匀分布之间的行为如何？
• RQ5 能否利用统计距离的理论界，证明在实际参数选择下2次单位根分圆RLWE实例的安全性？

主要发现

• 改进后的攻击显著降低了[9]中先前识别出的弱实例的运行时间，使其更具实际可利用性。
• 构建了一个无限伽罗瓦数域家族，即使误差分布的相对标准差趋于无穷大，该家族仍易受攻击。
• 对于模数q为非分歧且剩余度数为1或2的2次单位根分圆环，模素数理想下误差分布与均匀分布之间的统计距离有界为O(q · 2^{-m})，当m → ∞时。
• 表3中的数值结果表明，当n ≥ 100且q为多项式大小时，统计距离可忽略不计，卡方检验也证实误差呈现均匀分布。
• 当模数q的剩余度数f > 1时，分析通过有限域F_{q^f}上的迹函数推广，表4显示对于更大的q，统计距离仍保持较小。
• 当β = (1 + √q/m)/2时，不等式ε(m,q,k) ≤ (q−1)/2 · β^{km/4}成立，且当β^{k/4} < 1/2时，误差分布与均匀分布统计上接近，表明此类参数下具有安全性。