[论文解读] Seeing bulk topological properties of band insulators in small photonic lattices

Charles-Edouard Bardyn, Sebastian D. Huber+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2013

Topological Materials and Phenomena参考文献 35被引用 9

一句话总结

该论文提出一种基于可调谐扭曲边界条件的单元胞光子量子模拟器，用于在小型光子晶格中精确测量体态拓扑不变量——特别是陈数。通过设计一个具有可控规范通量的单一磁性单元胞，该方法在存在光子损耗和能带填充不均匀的情况下，仍能实现对拓扑不变量的精确测量，展示了在 $7\times7$ 采样点的二维霍夫施塔特模型中，$\gamma_{\text{max}} \approx 0.05$ 时对陈数的准确检测可行性。

ABSTRACT

We present a general scheme for measuring the bulk properties of non-interacting tight-binding models realized in arrays of coupled photonic cavities. Specifically, we propose to implement a single unit cell of the targeted model with tunable twisted boundary conditions in order to simulate large systems and, most importantly, to access bulk topological properties experimentally. We illustrate our method by demonstrating how to measure topological invariants in a two-dimensional quantum Hall-like model.

研究动机与目标

• 为克服光子系统中体态拓扑性质测量的挑战，这些挑战通常由能带填充不均匀和光子损耗引起。
• 开发一种可扩展且实用的方法，用于测量光子晶格等玻色子系统中的拓扑不变量，其中费米统计和泡利不相容原理无法自然保证均匀的能带填充。
• 通过利用可调谐扭曲边界条件保持有效平移对称性，实现实验上探测小型光子系统中的体态拓扑不变量。
• 通过使用具有可控通量的单元胞尺寸光子晶格，证明在二维量子霍尔类霍夫施塔特模型中测量陈数的可行性。
• 将光子量子模拟的应用范围扩展至受空间对称性保护的拓扑相以及全部十种阿尔特兰德-齐尔纳鲍尔对称性类。

提出的方法

• 该方法使用一个小型光子晶格——具体为单个磁性单元胞——通过可调谐扭曲边界条件实现，以模拟具有有效动量空间周期性的更大系统。
• 通过规范等价的通量 $\phi_u$ 穿过单元胞实现扭曲边界条件，从而能够访问布里渊区内的所有动量区域。
• 系统由相干场驱动，并受到光子损耗的影响，通过林德布拉德主方程建模，导致稳态为相干态的乘积形式。
• 通过在不同扭角下测量单元胞内稳态相干场振幅和相位，实验上测量与某一能带相关的谱投影算符 $P_n(\phi_1, \phi_2)$。
• 利用离散贝里曲率公式，通过 $7\times7$ 个扭角网格计算陈数 $\nu_n$，标准公式为 $\nu_n = \frac{1}{2\pi} \sum_{\phi_1,\phi_2} \text{Im} \, \text{Tr} \left[ P_n \, dP_n \wedge dP_n \right]$。
• 只要 $\gamma \ll \Delta$（其中 $\Delta$ 为能带隙），该方法对光子损耗具有鲁棒性，从而确保各能带的光谱分辨。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在能带填充不均匀和光子损耗的情况下，是否仍可在小型光子晶格中精确测量体态拓扑不变量（如陈数）？
• RQ2 在单元胞光子系统中，可调谐扭曲边界条件是否能够模拟大周期性系统的动量空间结构，并实现对拓扑不变量的访问？
• RQ3 在单元胞模拟器中，仍能实现对陈数准确测量的最大光子损耗率 $\gamma_{\text{max}}$ 是多少？
• RQ4 该方法是否可推广至具有空间对称性的系统或其他超越量子霍尔效应的拓扑相？
• RQ5 对扭角网格的采样粗糙到何种程度，仍能正确确定光子晶格中的陈数？

主要发现

• 在二维霍夫施塔特模型中，通过使用 $7\times7$ 个扭角 $\phi_1, \phi_2 \in [0, 2\pi)$ 的网格，可精确测量某一能带的陈数，即使在中等损耗率下也表现出高保真度。
• 对于具有能带隙 $\Delta$ 的能带，只要光子损耗率 $\gamma \ll \Delta$，该方法仍保持准确性，对于研究的 $n_p = 1/6$ 霍夫施塔特模型，$\gamma_{\text{max}} \approx 0.05$。
• 通过每个腔体中稳态相干场振幅和相位的测量，可实验重建谱投影算符 $P_n(\phi_1, \phi_2)$，从而实现对拓扑不变量的直接访问。
• 单元胞方法通过扭曲边界条件保持了有效平移对称性，使得无需大规模阵列即可模拟体态性质。
• 该方法适用于全部十种阿尔特兰德-齐尔纳鲍尔对称性类，并可扩展用于研究受点群或反演对称性保护的拓扑相。
• 数值模拟证实，即使采用粗略采样，也能正确识别每个能带的陈数，表明该方法具有鲁棒性和实际可行性。