[论文解读] Segal-Bargmann transform on Hermitian symmetric spaces and Orthogonal Polynomials

Mark Davidson, Gestur Ólafsson+1 more|ArXiv.org|Jun 26, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 9

一句话总结

本文建立了在管型的酉对称空间上，塞加尔-巴格曼变换与正交多项式之间的联系，表明在无界实现中，限制映射的逆是拉普拉斯变换。它识别出球函数展开中的系数为杰克对称多项式，并证明它们在涉及哈里什-钱德拉普朗彻尔测度与贝雷津变换符号的测度下正交，通过李代数作用与凯利变换推导出其差分与递推关系。

ABSTRACT

Let $\mathcal{D}=G/K$ be a complex bounded symmetric domain of tube type in a complex Jordan algebra $V$ and let $\mathcal{D}_{\mathbb{R}}=H/L\subset \mathcal{D}$ be its real form in a formally real Euclidean Jordan algebra $J\subset V$. We consider representations of $H$ that are gotten by the generalized Segal-Bargmann transform from a unitary $G$-space of holomorphic functions on $\mathcal{D}$ to an $L^2$-space on $\mathcal{D_{\mathbf{R}}}$. We prove that in the unbounded realization the inverse of the unitary part of the restriction map is actually the Laplace transform. We find the extension to $\mathcal{D}$ of the spherical functions on $\mathcal{D}_{\mathbb{R}}$ and find the expansion in terms of the $L$-spherical polynomials on $\mathcal{D}$, which are Jack symmetric polynomials. We prove that the coefficients are orthogonal polynomials in an $L^2$-space, the measure being the Harish-Chandra Plancherel measure multiplied by the symbol of the Berezin transform. We prove the difference equation and recurrence relation for those polynomials by considering the action of the Lie algebra and the Cayley transform on the polynomials on $\mathcal D$.

研究动机与目标

• 通过有界对称域上的酉表示，将塞加尔-巴格曼变换推广到管型的酉对称空间。
• 识别从全纯函数空间到其实形式上的 $ L^2 $ 空间的限制映射的逆为无界实现中的拉普拉斯变换。
• 刻画实形式上的球函数，并将其展开为复域上 $ L $-球多项式的形式。
• 证明该展开系数在包含哈里什-钱德拉普朗彻尔测度与贝雷津变换符号的加权 $ L^2 $-测度下为正交多项式。
• 通过李代数作用与凯利变换，推导出这些多项式的差分与递推关系。

提出的方法

• 利用限制原理，通过从有界对称域 $ \mathcal{D} $ 上的全纯离散系列表示到其实形式 $ \mathcal{D}_{\mathbb{R}} $ 上的 $ L^2 $ 空间的酉限制，定义塞加尔-巴格曼变换。
• 证明该限制映射的酉部分的逆在无界实现中对应于拉普拉斯变换。
• 识别 $ \mathcal{D}_{\mathbb{R}} $ 上的球函数，并将其全纯延拓到 $ \mathcal{D} $，以 $ L $-球多项式的形式表达其展开。
• 将 $ L $-球多项式识别为杰克对称多项式，并证明其在哈里什-钱德拉普朗彻尔测度与贝雷津变换符号的乘积测度下正交。
• 通过分析李代数 $ \mathfrak{h}^\gamma $ 的无穷小作用以及 $ \xi \in \mathfrak{h}^\gamma $ 对多项式的作用，推导出差分与递推关系。
• 利用凯利变换将无界实现上的微分算子与有界域上的算子联系起来，从而推导出拉盖尔函数的二阶微分方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在酉对称空间上的塞加尔-巴格曼变换如何与复域上的正交多项式相关联？
• RQ2 在无界实现中，该限制映射的酉部分的逆的显式形式是什么？
• RQ3 实形式上的球函数如何延拓为复域上的全纯函数，其在 $ L $-球多项式下的展开形式为何？
• RQ4 该展开中系数的正交测度是什么，其与贝雷津变换符号有何关系？
• RQ5 控制该展开中拉盖尔函数行为的微分方程是什么，其如何由李代数作用导出？

主要发现

• 从全纯函数空间 $ \mathcal{D} $ 到 $ L^2(\mathcal{D}_{\mathbb{R}}) $ 的限制映射的酉部分的逆，在无界实现中为拉普拉斯变换。
• 实形式 $ \mathcal{D}_{\mathbb{R}} $ 上的球函数可全纯延拓至 $ \mathcal{D} $，并可展开为 $ L $-球多项式，这些多项式被识别为杰克对称多项式。
• 该展开中的系数是在测度 $ \mu = \text{Plancherel measure} \times \text{symbol of the Berezin transform} $ 下的正交多项式。
• 该多项式的差分方程由 $ Z_0 \in \mathfrak{h}^\gamma $ 的作用导出，得到涉及指数集上上升与下降算子的关系式。
• 递推关系以包含算子 $ \pi_\nu(\xi) $ 的二阶微分方程形式表达，该算子在拉盖尔函数上表现为径向微分算子。
• 算子 $ \pi_\nu(\xi) $ 的径向部分导出如下形式的微分方程：$ (tD^2 + \nu D - t)\ell_n^\nu = -( \nu + 2n)\ell_n^\nu $，在上半平面情形下成立，并可推广至高秩域。